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Título: Modelos Gráficos Probabilísticos e técnicas de Aprendizado Profundo para predição de genes

Resumo: Dados sequenciais surgem em várias áreas de pesquisa, incluindo visão computacional, processamento de linguagem natural e biologia, apresentando desafios complexos de inferência como filtração, predição, controle e rotulação. Modelos Gráficos Probabilísticos (PGMs, do inglês Probabilistic Graphical Models) são arcabouços de estruturas matemáticas abrangentes que têm sido amplamente utilizadas para essas tarefas com sucesso significativo. Para a predição de genes, os melhores preditores atualmente focam no uso de Cadeias de Markov, como Augustus, SNAP, Genscan ou MYOP. Diversos estudos têm destacado a eficácia das Redes Neurais Profundas (DNNs, do inglês Deep Neural Networks) na resolução de problemas complexos. Esses modelos oferecem uma representação avançada que facilita as tarefas de inferência. Por exemplo, Redes Neurais Convolucionais (CNNs, do inglês Convolutional Neural Networks) têm sido empregadas para inferir sinais biológicos, sequenciar motivos e classificar pré-miRNAs, enquanto Redes Neurais Recorrentes (RNNs, do inglês Recurrent Neural Networks) são usadas para prever estruturas secundárias de proteínas. Neste trabalho, introduzimos uma estrutura que integra modelos de DNN com PGMs para aprimorar a predição de genes a partir de dados sequenciais, superando os métodos atuais. Para isso, desenvolvemos o DeepToPS, uma extensão da ferramenta ToPS, que é uma estrutura orientada a objetos com implementações eficientes de PGMs comumente utilizadas para dados sequenciais, agora incorporando DNNs. Consequentemente, o DeepToPS facilita a criação de preditores de genes utilizando modelos híbridos que combinam, de forma integrada, técnicas de aprendizado profundo com modelos gráficos.

Palavras-chave: Redes Neurais, Predição de Genes, Genômica Computacional, Aprendizado Computacional, Arcabouços Probabilísticos

Título: As contribuições de Josiah Willard Gibbs para Álgebra Vetorial

Resumo: O objetivo deste trabalho é destacar as contribuições matemáticas de um dos maiores cientistas americanos, Josiah Willard Gibbs. Para isto, realizamos um estudo detalhado da obra Elements of Vector Analysis e investigamos o desenvolvimento histórico-conceitual da Álgebra Vetorial. Inicialmente no estudo histórico que retrata o surgimento da área, foi possível compreender as influências de Gibbs e conhecer o trabalho de diversos matemáticos que contribuíram no desenvolvimento da área, como Willian Hamilton, Hermann Grassmann e Oliver Heaviside. A análise de sua obra, além de evidenciar uma retórica impecável, expõem as semelhanças das definições e proposições apresentadas por Gibbs com as atuais. O retrato da vida tranquila e o legado deixado por Gibbs, completam o trabalho, evidenciando o impacto de suas contribuições para a construção dos conceitos de Álgebra Vetorial e o reconhecimento pelas suas obras na Física, Química e Matemática.

Palavras-chave: Josiah Willard Gibbs, Álgebra Vetorial, Análise Vetorial, História da Matemática

Título: Novas perspectivas para os Modelos de Transformação Condicional Bayesianos

Resumo: Os Modelos de Transformação Condicional Bayesianos (BCTMs) permitem a estimativa direta da função de distribuição condicional de uma variável aleatória �� dado um conjunto de variáveis explicativas ��. Esses modelos inferem a distribuição condicional aplicando uma função de transformação a �� dado �� = ��, mapeando-o para uma distribuição de referência livre de parâmetros a serem estimados. A principal vantagem dos BCTMs é que as variáveis explicativas afetam toda a distribuição condicional de �� , em vez de impactar apenas seus momentos iniciais. As funções de transformação são componentes essenciais do modelo e podem variar desde funções simples e com poucos parâmetros até relações complexas que envolvem funções não lineares das variáveis explicativas e da variável resposta. Em nossa abordagem, exploramos uma formulação dos BCTMs que utiliza splines-B monotônicas e polinômios de Bernstein para parametrizar a função de transformação. A suavidade e a regularização são garantidas por meio da escolha adequada de distribuições a priori para os parâmetros. Propomos dois novos métodos de estimação: um baseado na Aproximação de Laplace Aninhada Integrada (INLA), apresentada por Rue et al. (2009), e outro baseado no Variational Bayes, conforme descrito por Niekerk e Rue (2024). Conduzimos dois estudos de simulação: um para avaliar a capacidade do algoritmo de recuperar os coeficientes do modelo e outro para verificar seu desempenho na estimação de densidades condicionais em comparação com abordagens existentes. As aplicações foram divididas em duas partes: (i) reanálises de conjuntos de dados previamente estudados com outras metodologias e (ii) novas análises de dados reais. Na primeira parte, um dos estudos compara nosso primeiro algoritmo proposto, denominado Integrated Laplace with Bayesian Conditional Transformation Models (ILBCTM), com o algoritmo original baseado em MCMC para os BCTMs (Carlan et al., 2023) nos mesmos modelos. Obtivemos resultados semelhantes, porém com menor tempo computacional. Na segunda parte, validamos nossos métodos por meio de aplicações a conjuntos de dados reais, incluindo um estudo sobre a mortalidade por câncer de pulmão e brônquios no Brasil e uma análise de furtos de veículos na cidade de São Paulo.

Palavras-chave: 1. Função de distribuição condicional, B-splines, Polinômios de Bernstein, Aproximação de Laplace, Inferência Variacional

Título: Aplicação das equações de Monge para superfícies tipo tempo com curvatura média tipo luz

Resumo: Neste trabalho, estudamos as superfícies split-isotérmicas de tipo tempo em $\mathbb R^4_2$ com características extrínsecas, como ser totalmente umbílica e possuir campo vetorial curvatura média de tipo luz. De modo análogo ao estudo apresentado em \cite{dussan2021spacelike}, relacionamos as soluções da equação não-linear de tipo-Riccati em variável split-complexa com superfícies de tipo tempo em $\mathbb H^3_1$, com campo vetorial curvatura média de tipo luz. São exibidos alguns exemplos de tais superfícies a partir de duas soluções explícitas conhecidas. Além disso, analisamos as superfícies split-isotérmicas na esfera nula $\mathbb S^3_2(0)$ parametrizadas por funções cujas coordenadas são split-harmônicas. Por fim, exploramos métodos para solucionar equações diferenciais em variável split-complexa e estabelecemos uma conexão entre as álgebras complexa e split-complexa ao reduzir séries de potências na variável split-complexa por meio de polinômios homogêneos.

Palavras-chave: Ssperfícies split-isotérmicas, esfera nula, equação de Riccati, variável split-complexa.

Título: Álgebras de Lie Simples Sobre o Corpo de Característica 2

Resumo: Nesta dissertação de mestrado, realizamos um estudo das álgebras de Lie simples de característica 2 com dimensões até 31. Esta pesquisa foi motivada pela necessidade de uma compreensão mais completa e sistemática dessas álgebras. Primeiramente, analisamos o máximo dessas álgebras de Lie conhecidas que se enquadram nessa categoria. Em seguida, compilamos nossos resultados em uma enciclopédia abrangente. Esta enciclopédia serve como um recurso valioso para outros pesquisadores no campo, fornecendo uma visão geral clara e acessível das álgebras de Lie de característica 2 de dimensão até 31. Além disso, fizemos um esforço consciente para abordar as questões em aberto que foram levantadas em artigos anteriores.

Palavras-chave: Álgebras de Lie Simples, Característica 2, Classificação.

Título: Modelo FM-COV para captura da posicão latente na análise de votos

Resumo: Em dados de múltiplas votações onde os votos de cada votante são identificáveis, ao comparar votos entre votantes distintos, é possível capturar características latentes de cada votante e cada votação. Empregado na Ciência Política, o modelo W-NOMINATE permite esta análise de votos com mapeamento das características latentes dos votantes e das votações. Neste trabalho foi construído e aplicado o modelo FM-COV que aplica fatoração de matrizes e permite algumas capacidades adicionais comparado ao modelo tradicional. Entre as vantagens está a fácil adição de covariáveis, o uso de validação cruzada e inclusive a possibilidade de ajustar o modelo descartando a dimensão latente. Nas aplicações foram explorados dados de votações políticas e julgamentos do STF, permitindo inclusive identificar em cada aplicação, em quantas dimensões latentes as posições latentes podem ser simplificadas.

Palavras-chave: FM-COV,W-NOMINATE,Fatoração de Matrizes,Análise de Votos,Espaço Latente

Título: Bases de Schauder em espaços de Banach: incondicionalidade, contratibilidade, limitação completa e espaços combinatórios

Resumo: Este trabalho tem como objetivo explorar as noções de bases de Schauder e sequências básicas, com ênfase em conceitos clássicos como os de equivalência entre bases de Schauder, incondicionalidade, contratibilidade e limitação completa, analisando como essas propriedades se inter-relacionam. Além disso, investigamos que propriedades a sequência canônica possui quando considerada nos espaços de sequências $c_0$ e $\ell_p$, com $1 \leqslant p \leqslant \infty$. Também mostramos que os espaços $C[0,1]$ e $L_1[0,1]$ possuem bases de Schauder e que tanto a base de $C[0,1]$ quanto a base de $L_1[0,1]$ não possuem a propriedade de incondicionalidade. Também exploramos conceitos de famílias e espaços combinatórios, analisando como a sequência canônica, além de ser uma base de Schauder de espaços combinatórios, apresenta as propriedades de incondicionalidade e contratibilidade, sem apresentar a propriedade de limitação completa.

Palavras-chave: Base de Schauder,Espaços de Banach,Incondicionalidade,Contratibilidade,Limitação completa

Título: Uma comparação entre modelos de amostragem randomizada e conveniente da perspectiva da teoria da decisão

Resumo: Neste trabalho, introduzimos e analisamos o esquema de amostragem conveniente, comparando-o com o amplamente utilizado esquema de amostragem aleatória a partir de uma perspectiva da teoria da decisão. Embora a aleatorização seja tradicionalmente considerada o padrão-ouro no desenho experimental devido a sua capacidade de minimizar vieses e melhorar a representatividade, restrições práticas muitas vezes levam os pesquisadores a selecionar amostras com base na acessibilidade, em vez da aleatoriedade. Para avaliar formalmente as implicações dessas estratégias de amostragem na tomada de decisão, examinamos dois problemas distintos da teoria da decisão: um modelo contínuo de estimação bayesiana da média a posteriori e um modelo discreto de decisão. Por meio dessa análise comparativa, constatamos que, no cenário contínuo, a amostragem aleatória leva consistentemente a um menor risco decisório, tornando-se o método preferido. No entanto, no problema discreto de decisão, a escolha entre amostragem aleatória e conveniente depende de fatores específicos, como tamanho da população, tamanho da amostra e probabilidades do modelo, tornando menos trivial a determinação de uma estratégia de amostragem universalmente ótima. Esses resultados fornecem novos insights sobre os trade-offs da teoria da decisão entre a amostragem aleatória e um esquema concorrente de amostragem, destacando as condições sob as quais cada método apresenta melhor desempenho. Ao estruturar a análise dentro de uma abordagem formal da teoria da decisão bayesiana, este trabalho contribui para uma compreensão mais aprofundada de como as escolhas de amostragem influenciam a confiabilidade da tomada de decisões estatísticas.

Palavras-chave: Teoria da decisão, Estatística Bayesiana, Amostragem, Aleatorização, Amostragem conveniente, Risco