Próximas defesas e eventos

Título: Aplicações de uma nova identidade com covariogramas do tipo Bombieri-Siegel em Geometria dos Números

Resumo: Exploramos adaptações das condições clássicas bem estabelecidas para aplicação da Fórmula do Somatório de Poisson para obter uma variante adequada para funções contínuas de suporte compacto. Isso culmina em uma fórmula refinada de Bombieri-Siegel, que aproveitamos para desenvolver somas sobre reticulados de covariogramas para quaisquer dois conjuntos limitados $A,B \subset \R^d$. Como aplicação desta fórmula refinada de Bombieri-Siegel, apresentamos uma nova caracterização de multi-ladrilhamentos do espaço euclidiano por translações de um conjunto compacto usando um reticulado. Uma outra consequência é uma fórmula espectral para o volume de qualquer conjunto mensurável limitado. Também aplicamos a identidade recém obtida para covariogramas e transformadas de Fourier a problemas relacionados à contagem de pontos de reticulados dentro de um corpo e a problemas em multi-ladrilhamentos contínuos e discretos. Por exemplo, dado um subconjunto finito $F$ de pontos inteiros em $\Z^d$, é interessante identificar condições em $F$ que permitam multi-ladrilhar $\Z^d$ por meio de traslações. Questões semelhantes relativas a corpos convexos foram extensivamente investigadas. Especificamente, fornecemos uma versão discretizada da fórmula de Bombieri-Siegel, que envolve uma soma finita de covariogramas discretos tomados sobre qualquer conjunto finito de pontos inteiros em $\R^d$. Como resultado, estabelecemos uma nova condição equivalente para multi-ladrilhar $\Z^d$ via $F$ com um reticulado inteiro. Além disso, exploramos as condições sob as quais uma união de translações de sub-reticulados podem multi-ladrilhar $\R^d$ e como relacionar a Conjectura de Minkowski sobre formas lineares com transformadas de Fourier de cones.

Palavras-chave: Somatório de Poisson, Covariograma, Multi-ladrilhamento, Transformada de Fourier, Reticulado

Título: Análise de complexidade para um algoritmo de terceira ordem atingir a estacionariedade de segunda ordem.

Resumo: Desenvolvemos um algoritmo de região de confiança de ponto interior de terceira ordem para otimização restrita não convexa e não negativa, com convergência para um ponto estacionário de segunda ordem. Normalmente, uma ordem de derivada p, com p ≥ 3, é usada apenas para melhorar os limites de complexidade para encontrar um ponto estacionário de primeira ordem ou um ponto estacionário de ordem p dentro de uma tolerância. Ou seja, quando apenas a derivada de segunda ordem é considerada, sabe-se que a versão do nosso algoritmo atinge um ponto estacionário de segunda ordem dentro da tolerância ε > 0 em no máximo O(ε^(−3)) iterações, enquanto mostramos que usando a terceira derivada de ordem, esta complexidade é melhorada para O(ε^(−2)). O preço a pagar para alcançar este resultado é que, em cada iteração do algoritmo, resolvemos um subproblema restrito por bola cúbica, que é consideravelmente mais difícil do que o seu equivalente quadrático.

Palavras-chave: Otimização Não Linear, Segunda Ordem, Terceira Ordem, Não Convexo, Restrição Linear, Ponto Estacionário, Ponto Interior, Complexidade.

Título: Análise de parâmetros ótimos do modelo de três fatores de Fama e French usando machine learning

Resumo: Em 1952, Harry Markowitz publicou seu artigo "Seleção de Carteira" com o objetivo de encontrar uma escolha ideal de ativos para maximizar um portfólio de investimento em termos de retorno e risco. Seu trabalho revolucionou o estudo de investimentos em finanças, ao destacar a importância de considerar não apenas o retorno, mas também o risco de cada investimento. Baseado nas ideias de Markowitz, Sharpe, em 1964, estudou a relação linear entre os retornos esperados e o risco de um ativo, levando ao desenvolvimento do Modelo de Precificação de Ativos de Capital (CAPM). Estudos iniciais sugeriram uma relação quase linear entre os betas e os retornos médios, mas Fama e French identificaram que os retornos excedentes não eram totalmente explicados pelo CAPM. Em 1993, eles apresentaram o modelo de três fatores, adicionando o tamanho das empresas (SMB) e o índice book-to-market (HML) ao beta de mercado, melhorando a explicação das diferenças de retorno entre as ações. Neste trabalho, buscamos aprimorar a construção das carteiras SMB e HML para indústrias dos EUA listadas na NYSE, AMEX ou NASDAQ usando machine learning (modelos lineares e redes neurais). Demonstramos sua eficiência no modelo de 3 fatores de Fama e French. Utilizamos critérios de informação bayesiana (BIC) para determinar o melhor ajuste aos dados de treinamento e o teste de Clark e West para comparar nosso modelo com o de três fatores, verificando sua superioridade estatística nos dados de teste usando um modelo linear na maioria das indústrias e superioridade estatística usando redes neurais.

Palavras-chave: Modelo de Markowitz, CAPM, Modelo de três fatores de Fama e French, Redes Neurais.

Título: Estimação de Parâmetros Epidemiológicos para a Dinâmica de Transmissão de Malária

Resumo: Através de sistemas de equações diferenciais ordinárias é possível estabelecer modelos matemáticos que descrevem as dinâmicas de transmissão de doenças infecciosas. Dentre estes modelos, encontram-se desde os mais simples até os mais complexos, quando a infecção exigir um veículo de transmissão de um ser humano para outro. Diante do exposto, propõe-se um modelo de equações diferenciais ordinárias simples que descreve a dinâmica de transmissão de malária, desconsiderando interações entre humanos e mosquitos. O objetivo principal é obter as melhores estimativas de valores para os parâmetros que compõe o modelo proposto, de modo que a solução analítica do modelo se ajuste bem aos dados de malária vivax reais previamente disponibilizados e tratados, causada pelo parasita Plasmodium vivax. A qualidade do ajuste é medida através da minimização do erro quadrático proveniente do método dos mínimos quadrados. Este processo de minimização é realizado utilizando o método de Monte Carlo que executa um grande número de iterações, as quais cada uma realiza sorteios de valores pertencentes a intervalos pré-definidos, com distribuição uniforme, para cada um dos parâmetros do modelo. Os valores supracitados são substituídos na expressão do erro, o qual é comparado com o erro encontrado na iteração anterior. Por fim, são consideradas como sendo as melhores estimativas para os parâmetros aquelas cujo erro é o menor dentre todas as iterações. Com o auxílio da computação avançada do Python e com os dados em mãos, foi possível o desenvolvimento do objetivo principal proposto. Tabelas contendo as melhores estimativas para os parâmetros e gráficos de dispersão foram utilizados para a visualização do ajuste de curva aos dados.

Palavras-chave: Estimação de Parâmetros, Modelo Epidemiológico, Malária, Método de Monte Carlo

Título: Boas colocações de problemas com condições dinâmicas de contorno.

Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar um estudo sobre alguns problemas diferenciais com condições dinâmicas de contorno. Serão apresentados três problemas: O problema do calor, o problema de Caginalp e o problema de Cahn-Hilliard. Tais problemas se correlacionam, tal como apresentado por Zheng e Racke em seu artigo “The Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions”, que serviu de inspiração para a produção deste trabalho. No primeiro capítulo desta dissertação, os problemas serão enunciados. O segundo capítulo tem por objetivo fundamentar a base teórica necessária para fundamentar e trabalhar com tais problemas. Por fim, nos capítulos restantes serão apresentados os resultados principais: os teoremas de existência e unicidade para o problema do calor linear homogêneo e não homogêneo e para o problema de Caginalp.

Palavras-chave: Equação de Cahn-Hilliard. Problema de Caginalp. Equação do calor com condições dinâmicas de contorno

Título: Grupoides e Algebroides de Estrutura de Cartan

Resumo: Este trabalho é sobre algebroides de estrutura de Cartan, uma nova síntese de dois outros conceitos matemáticos: geometrias de Cartan e algebroides de Lie. O objetivo desta síntese é providenciar um arcabouço generalizante para o desenvolvimento da teoria de Lie de algebroides, em particular a de algebroides de G-estrutura com conexão. Além de definir estes objetos e estabelecer suas propriedades iniciais básicas, exploramos alguns desenvolvimentos da teoria de Lie de algebroides nos quais estes algebroides podem ser utilizados.

Palavras-chave: Algebroides de Lie, geometria de Poisson, geometria de Cartan

Título: Ações parciais e homologia

Resumo: Estudamos a categoria de ações parciais de grupos, explorando aspectos homológicos dessa categoria, bem como algumas generalizações das ações parciais de grupos. Começamos analisando sua estrutura categórica e sua relação com a categoria dos grupoides. Posteriormente, estudamos a teoria (co)homológica das ações parciais de grupo, motivados por sua conexão com os grupoides e a estrutura simplicial que emerge das ações parciais de grupo. Concluímos nosso estudo examinando a estrutura (co)homológica de duas generalizações das ações parciais de grupo: ações parciais de algebras de Hopf e ações parciais torcidas de grupo. Inicialmente, consideramos a categoria de ações parciais de grupo, onde o grupo e o conjunto sobre o qual o grupo age podem variar. Desenvolvemos uma teoria de quocientes de ações parciais e provamos que a categoria de ações parciais é tanto (co)completa quanto engloba a categoria dos grupoides como uma subcategoria plena. Em particular, estabelecemos a existência de um par de funtores adjuntos, denotados como $\Phi: \textbf{Grpd} \to \textbf{PA}$ e $\Psi: \textbf{PA} \to \textbf{Grpd}$, com a propriedade de que $\Psi \Phi \cong 1_{\textbf{Grpd}}$. Para um grupoide $\Gamma$, fornecemos uma caracterização de todas as ações parciais que permitem a recuperação do grupoide $\Gamma$ através de $\Psi$. Essa caracterização é expressa em termos de certos subgrupos normais de um grupo universal construído a partir de $\Gamma$. Motivados pela estrutura simplicial que surge do grupoide de ação parcial de uma ação parcial de grupo, empregamos métodos simpliciais para estudar a (co)homologia de grupo parcial de ações parciais de grupo. Introduzimos o conceito de globalização universal de uma ação parcial de grupo em um $K$-módulo e provamos que, dada uma representação parcial de $G$ em $M$, a homologia de grupo parcial $H^{par}_{\bullet}(G, M)$ é naturalmente isomorfa à homologia de grupo usual $H_{\bullet}(G, KG \otimes_{G_{par}} M)$, onde $KG \otimes_{G_{par}} M$ é a globalização universal da ação parcial de grupo associada a $M$. Dualizamos esse resultado em uma sequência espectral cohomológica convergindo para $H^{\bullet}_{par}(G,M)$. A (co)homologia de grupos parciais com coeficientes em um \( K_{\text{par}}G \)-módulo surge naturalmente como um componente de uma sequência espectral que calcula a (co)homologia de Hochschild de um produto cruzado parcial. Estendemos essa análise para o caso Hopf. Dado um álgebra de Hopf cocomutativa $\mathcal{H}$ sobre um anel comutativo $K$ e uma ação parcial simétrica de $\mathcal{H}$ em uma $K$-álgebra $A$, obtemos uma sequência espectral de Grothendieck no primeiro quadrante convergindo para a homologia de Hochschild do produto smash $A \# \mathcal{H}$, envolvendo a homologia de Hochschild de $A$ e a homologia parcial de $\mathcal{H}$. Uma sequência espectral cohomológica no terceiro quadrante também é obtida. A definição da (co)homologia parcial de $\mathcal{H}$ em consideração é baseada na categoria das representações parciais de $\mathcal{H}$, uma representação parcial específica de $\mathcal{H}$ em uma subálgebra $\mathcal{B}$ do álgebra parcial "Hopf" $\mathcal{H}_{par}$ está envolvida na definição, e construímos uma resolução projetiva de $\mathcal{B}$. Finalmente, concluímos o trabalho considerando ações parciais torcidas de grupo. Dado um grupo $G$ e um conjunto parcial $\sigma$ de $G$, introduzimos a álgebra de grupo parcial torcida $\kappa_{par}^{\sigma}G$, que governa as $\sigma$-representações parciais projetivas de $G$ em álgebras sobre um corpo $\kappa$. Usando a relação entre representações parciais projetivas e ações parciais torcidas, dotamos $\kappa_{par}^{\sigma}G$ com a estrutura de um produto cruzado por uma ação parcial torcida de $G$ em uma subálgebra comutativa de $\kappa_{par}^{\sigma}G$. Em seguida, usamos álgebras de grupo parcial torcidas para obter uma sequência espectral de Grothendieck no primeiro quadrante convergindo para a homologia de Hochschild do produto cruzado $A\ast_{\Theta} G$, envolvendo a homologia de Hochschild de $A$ e a homologia parcial de $G$, onde ${\Theta}$ é uma ação parcial torcida unitária de $G$ em uma $\kappa$-álgebra $A$ com uma torção baseada em $\kappa$. Uma sequência espectral cohomológica analógica no terceiro quadrante também é obtida.

Palavras-chave: Ações parciais, representação parciais, homologia parcial de grupo, homologia de grupo, homologia Hochschild

Título: Análise e modelagem de séries temporais de memória longa usando ondaletas de splines fracionários

Resumo: Splines fracionários estendem as B-splines de Schoenberg para ordens fracionárias, as quais se demonstra atenderem a todos os requisitos para formar bases de ondaletas. Não obstante, algumas dessas ondaletas de spline fracionários atuam como operadores de diferença fracionária para sinais com comportamento essencialmente passa-baixo e com polo concentrado em torno da origem, tornando-as assim úteis na análise de séries com comportamento fractal. Utilizando o fato de que esta família de ondaletas atua aproximadamente como um operador de diferença fracionária no domínio de Fourier, propõem-se nesta tese dois novos estimadores para o parâmetro de memória longa de uma série temporal com base na transformada discreta de ondaletas de spline fracionário (FrDWT), sendo um heurístico e outro baseado em máxima verossimilhança. Demonstram-se nesta tese as propriedades de diferenciação fracionária das ondaletas de splines fracionários, bem como um teorema que permite construir um procedimento de embranquecimento de ruídos fracionários. Realizam-se simulações e constroem-se exemplos para ilustrar os métodos propostos, verificando sua competitividade com as demais propostas da literatura. Por fim, exibimos o comportamento do estimador proposto em dados reais, verificando sua dominância frente aos demais métodos amplamente empregados na literatura de séries temporais.

Palavras-chave: Memória longa, expoente de Hurst, wavelets, splines, splines fracionários, passeio aleatório fracionário, ruído Gaussiano fracionário