Próximas defesas

Título: Colorações canônicas em Teoria de Ramsey

Resumo: A propriedade Ramsey-canônica expande a teoria clássica de Ramsey ao considerar colorações em grafos sem restrição no número de cores, buscando padrões inevitáveis. Nesse contexto, uma cópia de um grafo $H$ em um grafo $G$ é chamada de \emph{canônica} se for monocromática, rainbow ou lexicográfica. O Teorema de Ramsey Canônico, de Erd\H{o}s e Rado, garante que, para qualquer grafo $H$, todo grafo suficientemente grande contém uma cópia canônica de $H$, sob qualquer coloração de suas arestas. Neste trabalho, estudamos o surgimento da propriedade Ramsey-canônica no modelo de grafos aleatórios $\gnp$, isto é, investigamos para quais funções $p = p(n)$ essa propriedade ocorre com alta probabilidade. Apresentamos e discutimos três resultados recentes nessa direção: o primeiro determina o limiar da propriedade para o caso em que $H$ é um grafo completo $K_\ell$, o segundo estabelece o limiar no caso em que $H$ é um grafo arbitrário, mas limitado a colorações com restrições de listas, e o terceiro mostra uma cota superior quase justa para o caso em que $H$ é um ciclo par. As definições de propriedade Ramsey-canônica adotadas nesses três resultados variam ligeiramente, especialmente nas condições impostas sobre as cópias lexicográficas e, em geral, nenhum dos resultados implica o outro. As demonstrações desses resultados fazem uso de diversas técnicas de combinatória extremal e probabilística, como exposição em múltiplas rodadas, o uso cuidadoso de propriedades estruturais de $\gnp$, método de Contêineres de hipergrafos, dentre outros. Ao longo desta dissertação, discutimos as diferenças fundamentais entre cada definição adotada, bem como as ideias centrais das demonstrações e ferramentas intermediárias necessárias.

Palavras-chave: Combinatória, Teoria de Ramsey, Teoria dos Grafos, grafos aleatórios, método probabilístico, funções limiares.

Título: Sobre a decomposição localmente irregular e suas variantes

Resumo: Um grafo é localmente irregular se ele não tem vértices adjacentes com o mesmo grau. Uma decomposição localmente irregular de um grafo G é uma família {G_1, . . . ,G_k} de subgrafos aresta-disjuntos e localmente irregulares de G tal que cada aresta de G está em exatamente um desses subgrafos. Se um grafo G possui uma tal decomposição, ele é chamado de decomponível e o índice cromático irregular é o menor k para o qual G possui uma decomposição localmente irregular com k membros. Similarmente, uma decomposição regular-irregular de um grafo G é uma família {G1, . . . ,Gk} de subgrafos aresta-disjuntos de G tal que cada componente de qualquer membro G_i dessa família é ou regular ou localmente irregular. O índice cromático regular-irregular é definido analogamente. Quando cada componente regular é isomorfa ao K_2, temos uma decomposição K_2-irregular e seu respectivo índice cromático K_2-irregular. Nesta tese, discutimos os resultados mais relevantes na literatura (até onde sabemos) sobre esses índices, tanto restrito a algumas classes de grafos quanto o caso geral. Além disso, apresentamos algumas contribuições da nossa parte, as principais sendo sobre o índice cromático irregular de blow-ups de ciclos, e sobre o índice cromático irregular de grafos bipartidos.

Palavras-chave: Grafo localmente irregular, Decomposição localmente irregular, Grafo K2-irregular. Índice cromático irregular.

Título: Sistemas de observabilidade para aprendizado de máquina: uma investigação prática de requisitos e benefícios

Resumo: Apesar de sua crescente aplicação em diversos setores, sistemas de aprendizado de máquina ainda enfrentam um desafio central: a baixa observabilidade. Em outras palavras, após a implantação dos modelos, muitas vezes vistos como `caixas-pretas', é difícil compreender, monitorar e depurar seu comportamento em produção. Essa limitação compromete a confiabilidade dos sistemas e dificulta a identificação de problemas como degradação de desempenho, enviesamento (viés) ou falhas causadas por mudanças nos dados, conhecidas como desvios de dados e de conceito. Muitos desses sistemas tendem a falhar silenciosamente, tornando os erros visíveis apenas quando já são críticos. A falha em detectar esses problemas pode causar impactos severos, como danos financeiros por predições incorretas, decisões injustas que afetam clientes e grupos minoritários e, em casos extremos, riscos à integridade física ou jurídica. Tal cenário mina a confiança nas soluções de IA, podendo levar à perda de confiabilidade e ao eventual abandono de projetos. Nesse contexto, este trabalho investiga os requisitos essenciais e os possíveis benefícios do uso de sistemas de observabilidade para AM. Esses novos sistemas se propõem a ir além do monitoramento tradicional de métricas, oferecendo uma plataforma que visa centralizar, organizar e trazer transparência ao estado de um modelo em um ambiente único e compartilhado. Suas funcionalidades incluem o monitoramento de performance, análise de justiça, verificação de enviesamentos, aprofundamento nas variáveis usadas, alertas para mudanças de comportamento nos dados, detalhamento do modelo utilizado e explicações para o comportamento geral do modelo e também de predições isoladas, permitindo uma análise em produção mais assertiva e menos dependente de especialistas. Para explorar este tema, o presente trabalho detalha as funcionalidades relevantes para um sistema de observabilidade para AM, baseando-se em uma revisão de literatura formal e cinzenta e em um levantamento das funcionalidades das principais ferramentas de mercado. Além disso, para demonstrar os benefícios práticos desses sistemas, foi construído um protótipo de software do tipo. Para tal, foi desenvolvida uma modelagem de dados e classes baseada na ontologia utilizada pelo OpenML. A implementação se deu através de biblioteca de classes em Python que atua como cliente de ingestão, com apoio de um banco de dados relacional (MySQL) e um NoSQL (MongoDB) e uma solução de visualização de dados de código aberto (Apache Superset). A aplicação das funcionalidades é então demonstrada através do protótipo em três casos de uso com dados reais, abordando problemas de classificação (previsão de reincidência criminal e inadimplência) e regressão (previsão de demanda de bicicletas). Finalmente, o trabalho se aprofunda nos desafios práticos do uso de modelos de AM em produção através de entrevistas com cientistas de dados e outros profissionais da área. O objetivo dessa coleta qualitativa é obter um panorama geral dos principais desafios enfrentados por equipes que desenvolvem, usam ou suportam modelos em produção e avaliar a relevância e aplicabilidade das funcionalidades dos sistemas de observabilidade utilizando o protótipo desenvolvido como exemplo de um possível sistema.

Palavras-chave: Aprendizado de Máquina,MLOps,Monitoramento,Observabilidade

Título: Estudo sobre a inversão do teorema de Lagrange-Dirichlet em 3 dimensões

Resumo: O Teorema de Lagrange–Dirichlet garante que, em sistemas mecânicos conservativos com número finito de graus de liberdade, todo ponto de mínimo estrito da energia potencial, com velocidade inicial nula, é um ponto de equilíbrio estável. Este trabalho tem como foco a recíproca desse teorema, isto é, sob quais condições a ausência de um mínimo estrito implica instabilidade. São revisitados exemplos clássicos, como o de Wintner, 1941, que demonstra que a recíproca não é válida em geral para potenciais suaves, e o de Bertotti–Bolotin, 2000, que evidencia a influência dos termos cinéticos na estabilidade. Também são discutidas hipóteses mais restritivas, como a analiticidade da energia potencial, destacando o problema proposto por Arnold, 2002 e resolvido por Brunella, 1998 em sistemas com dois graus de liberdade. O principal destaque, entretanto, é o resultado recente de Burgos e Paternain, 2022, que formula e demonstra a recíproca do Teorema de Lagrange–Dirichlet em três dimensões, construindo um critério de instabilidade para mínimos locais não estritos (ou brandos) de energias potenciais analíticas.

Palavras-chave: Teorema de Lagrange–Dirichlet. Estabilidade de Lyapunov, Energia Potencial, Sistemas Conservativos

Título: Comidas típicas de celebrações juninas como contexto para investigar preço de venda: uma abordagem com modelo de matemática

Resumo: Teve-se por objetivo investigar se uma abordagem de ensino, que teve como objeto de estudo festas juninas brasileiras, vistas como uma atividade lúdica e combinadas com a realidade da comunidade, mostrou potencial para envolver socialmente os participantes e para transformá-los em seres humanos ativos na aprendizagem escolar em Matemática. Para atingir esse objetivo, usou-se as ideias da Modelagem Matemática, na vertente sociocrítica, para elaborar e aplicar dez encontros com os alunos de uma sala de aula de 8º ano do Ensino Fundamental e responder a questão “Quais discussões, entre matemáticas, técnicas, reflexivas e paralelas, emergem durante a realização dos encontros propostos, contextualizados no evento cultural festa junina?”. Dois desses encontros foram dedicados ao conhecimento de quatro Festas Juninas brasileiras tradicionais e os oito restantes para usar esse conhecimento, focado em comidas típicas da região em que vivem, para buscar resposta à questão norteadora que se colocou ao longo do terceiro encontro “Qual é o preço de venda da comida típica escolhida na festa junina da escola?”. Os participantes foram divididos em grupos, o que gerou áudio-gravações, protocolos e relatórios, por escrito, do pesquisador e de observadores neutros. A análise qualitativa dos dados permitiu identificar discussões técnicas, reflexivas, matemáticas e paralelas, tanto nos grupos como nas falas individuais e mostrou indícios de que alguns dos participantes se mostraram ativos e autônomos na aprendizagem, capazes de propor métodos, criticar estratégias de precificação e utilizar a Matemática como ferramenta para compreender o contexto social. Deixa-se, como Produto Final esperado de um Mestrado Profissional, uma proposta de intervenção de ensino, baseada em Modelagem Matemática, que possa ser replicada por professores(as) de Matemática da Educação Básica.

Palavras-chave: festa junina, festas populares, Modelagem Matemática, interdisciplinaridade, Educação Básica

Título: Identificação de cargas sobre vigas de Timoshenko

Resumo: Esta dissertação aborda um problema inverso para o modelo de vigas de Timoshenko, investigando se, sob certas hipóteses, é possível detectar o carregamento em uma viga a partir da observação do deslocamento transversal $w(x,t)$. A motivação para o estudo desse tipo de problema se dá pela dificuldade de medir experimentalmente a rotação $\varphi$ da seção transversal, um elemento fundamental no modelo. Para alcançar este objetivo, o trabalho estabelece o arcabouço matemático rigoroso (formulação fraca) em espaços de Sobolev ($H_0^1(\Omega)$). Em seguida, as equações governantes do modelo são deduzidas detalhadamente a partir dos princípios da mecânica do contínuo. A análise do problema de autovalores é crucial, demonstrando que o espectro de frequências $(\omega_n)$ se decompõe em duas subsequências assintoticamente uniformemente discretas ($\Lambda_1, \Lambda_2$). Esta propriedade espectral permite obter a solução formal do sistema dinâmico e transformar o problema de unicidade em um problema de interpolação em análise harmônica. A prova do resultado principal, o Teorema de Unicidade, é então realizada aplicando o Teorema de Paley-Wiener e a teoria de interpolação para conjuntos uniformemente discretos. O teorema estabelece que as cargas são unicamente determinadas pelo conhecimento do deslocamento em um subconjunto aberto arbitrário do domínio, desde que o tempo de observação seja suficientemente longo. Esta conclusão fornece uma validação teórica fundamental para o campo de Monitoramento da Integridade Estrutural, garantindo que sistemas de monitoramento baseados apenas em sensores de deslocamento são, em princípio, suficientes para a identificação de cargas.

Palavras-chave: Vigas de Timoshenko, Identificação de Cargas, Teorema de Unicidade

Título: Adaptação e avaliação da técnica de mutação condicional para a linguagem de programação funcional Haskell

Resumo: O teste de software é uma parte importante do processo de desenvolvimento de software e que permite assegurar a qualidade do mesmo, porém existe um alto custo, tanto de capital humano quanto computacional envolvido neste processo. Com o intuito de permanecer no mercado de forma competitiva, há um esforço das empresas em reduzir custos e aumentar a qualidade de seus produtos, dessa forma, a busca por otimizar os testes de software é bastante estudada e investigada atualmente. Para testar a eficiência de um conjunto de testes, criado para um software, é comumente utilizado o teste de mutação, pois este permite encontrar trechos de software que contém condições que não foram contempladas pelo conjunto de testes. Apesar de necessitar de pouco capital humano, o custo computacional envolvido no teste de mutação é elevado, pois o processo envolve um grande número de compilações referentes aos mutantes, que são os programas gerados a partir de pequenas alterações no software original ao qual o conjunto de testes se compromete em testar. O objetivo deste trabalho é adaptar e avaliar a técnica de mutação condicional, a qual evita a necessidade de múltiplas compilações, aplicada à linguagem de paradigma funcional Haskell. Este é um estudo quantitativo sobre o custo computacional envolvido na execução do teste de mutação com e sem a aplicação da técnica de mutação condicional. A contribuição prática deste trabalho será a adaptação e implementação de tal técnica, comumente aplicada a linguagens de paradigma imperativo, à linguagem de paradigma funcional Haskell. O resultado deste trabalho avaliará a eficiência da técnica de mutação condicional quando aplicada a uma linguagem de paradigma funcional com avaliação preguiçosa.

Palavras-chave: custo computacional, teste de mutação, mutação condicional, programação funcional, Haskell

Título: Constantes de Erdős-Ginzburg-Ziv de Grau Alto em Anéis

Resumo: Seja �� um anel comutativo com unidade e �� e �� inteiros positivos. Definimos EGZ(��, ��, ��) como o menor inteiro positivo �� (se existir) com a seguinte propriedade: dada qualquer sequência ��1, . . . , ���� de �� elementos de ��, existe uma sub-sequência ����1 , . . . , ������ de �� termos tais que ����(����1 , . . . , ������ ) = 0, onde ����(��1, . . . , ����) denota o ��-ésimo polinômio simétrico elementar em �� variáveis, ou seja, ����(��1, . . . , ����) =∑︀_{��∈{1,...,��}, |��|=��}∏︀ ��∈�� ���� . Em particular, o teorema clássico de Erdős-Ginzburg-Ziv afima que, para todo �� ≥ 1, temos EGZ(��, Z��, 1) = 2�� − 1. O único anel cujos valores de EGZ eram conhecidos sempre que definidos é Z2. Nós expandimos esse estudo achando os valores exatos de EGZ(��, Z3, 3^��) e de classes infinitas de (��, ��) em todos aneis de 4 elementos, com exceção de F4. Também achamos cotas superiores novas para EGZ em aneis de característica prima, bem como mostramos um novo padrão de periodicidade geral de EGZ em ��.

Palavras-chave: Problemas de soma zero, Teorema de Erdős-Ginzbug-Ziv, Métodos algébricos em Combinatória

Título: Métodos para identificar estatísticas suficientes minimais

Resumo: Seja f_\theta uma densidade de probabilidade conjunta de uma amostra aleatória X. Um critério padrão afirma que uma estatística T(X) é suficiente minimal se, para quaisquer pontos amostrais x e y, a razão f_\theta(y)/f_\theta(x) é independente de \theta se, e somente se, T(x)=T(y). Embora amplamente aplicado, a validade desse critério depende de condições de regularidade implícitas que nem sempre são satisfeitas. Construímos um contraexemplo demonstrando que o método falha quando tais condições não são satisfeitas. Lehmann e Scheffé (1950) foram os primeiros a estabelecer condições para a validade do critério, porém difíceis de verificar na prática; Sato (1996) propôs posteriormente alternativas que permanecem de difícil verificação. Introduzimos um método que contorna essa dificuldade quando a estatística é sabidamente suficiente. Esta abordagem fornece uma generalização do resultado de Sato. Finalmente, analisamos um método distinto para a identificação de estatísticas suficientes minimais desenvolvido por Pfanzagl (1994, 2015) e apresentamos um contraexemplo mostrando que tal resultado falha na ausência de hipóteses adicionais.

Palavras-chave: estatística suficiente minimal, estatística suficiente, teorema da fatoração de Neyman-Fisher, método de Sato, método de Pfanzagl, espaços de Borel

Título: Comparação de métodos de penalização na qualidade de predições em modelos de análise de sobrevivência

Resumo: Este trabalho tem como objetivo avaliar o desempenho preditivo de métodos de penalização, como Firth, Lasso e Ridge, em modelos de sobrevivência, com foco na aplicabilidade desses métodos em cenários com amostras pequenas e alta censura. O estudo também busca analisar os efeitos dessas técnicas na estimativa dos parâmetros de modelos paramétricos, visando aprimorar a precisão das análises nestes contextos desafiadores. Para isso, são conduzidos experimentos com dados simulados, nos quais os métodos são comparados utilizando métricas como viés, erro quadrático médio, área sob a curva, índice de concordância e escore de Brier para avaliar as estimativas dos parâmetros e a performance preditiva. Além disso, é avaliado o desempenho computacional, considerando o tempo de execução e a taxa de convergência dos modelos. Para comparar essas metodologias, além dos estudos de simulação, é realizada uma aplicação prática dessas técnicas em um conjunto de dados de um estudo do Instituto do Coração do Hospital das Clínicas da FMUSP. Os resultados indicam que o método de penalização Firth apresenta os melhores resultados em termos de viés e erro quadrático médio, especialmente em contextos com amostras pequenas e alta censura. Contudo, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a robustez dos modelos cresce, o que diminui as variações nas estimativas e minimiza as diferenças entre os métodos. A análise também evidencia pontos positivos e negativos para os modelos paramétricos e semi-paramétricos, destacando a importância da correta especificação da distribuição paramétrica. A escolha inadequada da distribuição nos modelos paramétricos compromete a precisão das estimativas, enquanto a ausência de uma função paramétrica para o tempo de falha nos modelos semi-paramétricos limita a previsão de tempos absolutos de sobrevivência. Em termos de desempenho computacional, os modelos ajustados por máxima verossimilhança são os mais rápidos, seguidos pelo método Firth, enquanto os métodos Lasso e Ridge exigem mais tempo devido ao processo de seleção de penalização. Em cenários com alta censura ou limitações amostrais, o método de Firth se mostra preferível por sua maior robustez e precisão preditiva.

Palavras-chave: análise de sobrevivência, predição, técnicas de penalização.