Próximas defesas

Título: Métodos homológicos em álgebra comutativa

Resumo: Uma das grandes conquistas do uso de métodos homológicos para estudar anéis comutativos foi o importante Teorema de Auslander-Buchsbaum-Serre (Teorema 2.1.4) que caracteriza os anéis locais regulares usando apenas a dimensão global do anel que é um invariante homológico. Desde que foi provado esse resultado, muitas outras técnicas foram introduzidas e nessa dissertação, vamos apresentar algumas delas. O foco dos três primeiros capítulos é estudar a relação entre as dimensões homológicas, a dimensão do anel (Krull) e o invariante algébrico depth que vamos definir. O teorema principal dessa parte é o Teorema da dualidade local (Teoremas 3.4.10 e 3.4.12). Para prová-lo, vamos introduzir a classe dos anéis de CohenMacaulay, assim como suas subclasses de anéis que serão importantes para nós e definir a cohomologia local de um anel noetheriano. No capítulo 4, apresentamos a teoria de categoria derivada, assim como as ferramentas necessárias para construir o complexo dualizante no último capítulo para provar uma generalização do Teorema da dualidade local.

Palavras-chave: Álgebra comutativa, Álgebra homológica, anéis de Cohen-Macaulay, Cohomologia local, Categoria derivada

Título: O ensino de geometria com transformações geométricas: análise da coleção Gruema sob a perspectiva da matemática do ensino

Resumo: Esta pesquisa tem como objetivo compreender a constituição da matemática do ensino de transformações geométricas na coleção didática do Grupo de Ensino de Matemática Atualizada (Gruema), especificamente nos volumes destinados às 7ª e 8ª séries do antigo 1º grau, produzidos na década de 1970. O estudo investiga como as autoras da referida obra se apropriaram das propostas do Movimento da Matemática Moderna (MMM) para organizar e estruturar o ensino da geometria através das transformações geométricas. O referencial teórico-metodológico ampara-se na História Cultural, mobilizando conceitos de apropriação e cultura escolar, bem como a distinção analítica entre finalidade de objetivo e finalidade real das disciplinas escolares. Fundamentalmente, a investigação utiliza o constructo teórico da matemática do ensino, que articula, historicamente, a matemática a ensinar e a matemática para ensinar, sendo analisado mediante três categorias estruturantes: o significado, a graduação e os exercícios e problemas. A análise documental dos volumes evidenciou que a intenção declarada pelas autoras de ensinar a geometria através das transformações geométricas — integrando-as à noção de função e à linguagem modernizadora da teoria dos conjuntos — configurou-se essencialmente como uma finalidade de objetivo, alinhada aos discursos prescritivos do MMM. Contudo, ao se examinar a materialidade da obra nos blocos de exercícios, constata-se que a simetria axial e a homotetia operaram sob outra dinâmica, assumindo, na finalidade real, o papel predominante de uma matemática para ensinar transitória. As transformações geométricas forneceram o suporte empírico, intuitivo e visual necessário para superar a abstração inicial, funcionando como o alicerce para a introdução dos conceitos de congruência e semelhança de figuras planas. Uma vez consolidados os significados visuais dessas relações geométricas, a obra promoveu um retorno à tradição dedutiva da geometria euclidiana clássica. Conclui-se que o Gruema promoveu um ensino de geometria com transformações geométricas, de maneira a não apenas reproduzir os ditames estruturalistas de sua época, mas com uma apropriação singular das diretrizes do MMM, reconfigurando a geometria para que ela se tornasse viável e fizesse sentido diante das reais restrições da cultura escolar e das limitações da formação docente. Como desdobramento do estudo histórico, a dissertação culmina na apresentação de propostas de atividades com transformações geométricas, estruturadas com tarefas em ambiente de geometria dinâmica, buscando revisitar as potencialidades conceituais da obra original à luz das tecnologias digitais contemporâneas.

Palavras-chave: História da educação matemática, História Cultural, Cultura Escolar, Movimento da Matemática Moderna, Livro Didático

Título: Unindo modelos codificadores e decodificadores de língua Uma abordagem em português brasileiro

Resumo: Modelos de linguagem de grande escala são tipicamente divididos em arquiteturas compostas apenas por codificadores ou apenas por decodificadores, cada uma adequada a diferentes tarefas. Este trabalho propõe o FlexQwen, um modelo unificado codificador-decodificador de 150 milhões de parâmetros, projetado para alavancar objetivos de modelagem de linguagem causal (CLM) e mascarada (MLM) em uma única arquitetura. O modelo é pré-treinado exclusivamente em textos em português brasileiro do Corpus Carolina, utilizando uma nova abordagem de treinamento híbrido que intercala lotes puros de CLM e MLM. Quatro diferentes estratégias de escalonamento de lotes (constante, shift, linear e cosseno) são avaliadas para determinar o equilíbrio ideal dos objetivos de treinamento. A avaliação extrínseca é realizada por meio da correção automática de redações do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). Os resultados do pré-treinamento indicam que a estratégia constante mantém com sucesso uma baixa perplexidade nos modos CLM e MLM. Durante o ajuste fino, os modelos híbridos alcançam pontuações competitivas de Kappa com peso quadrático (QWK) em comparação com linhas de base estabelecidas de codificadores e pequenos decodificadores ao processar apenas o texto da redação. Embora nenhuma estratégia híbrida única tenha superado consistentemente as linhas de base em todas as competências de pontuação do ENEM, os resultados demonstram a viabilidade e a eficiência do treinamento de modelos unificados com recursos computacionais e de dados restritos. Por fim, o estudo confirma a necessidade de pré-treinamento para esta tarefa e destaca os desafios na generalização para janelas de contexto mais longas.

Palavras-chave: Modelos de Linguagem, Modelos Híbridos, Português Brasileiro, Estratégias de Pré-treinamento, Correção Automática de Redações

Título: O Teorema de Tomita-Takesaki, preliminares e aplicações

Resumo: O objetivo do presente trabalho é apresentar uma nova demonstração, feita por Jon Sorce, do Teorema de Tomita-Takesaki. Inicialmente, tratamos de uma série de preliminares necessárias para a compreensão das principais ferramentas usadas na teoria, como operadores ilimitados e funções vetoriais holomorfas. Ao final, exibimos a demonstração feita por Jon Sorce, a partir da construção de um subespaço de operadores bem comportados com relação ao Operador Modular, bem como parte da motivação física por trás desse teorema.

Palavras-chave: Teoria de Tomita-Takesaki, Operadores ilimitados, Condição de KMS

Título: Curvas algébricas com grupos de automorfismos de ordem quadrado de primo

Resumo: Neste trabalho, apresentamos contribuições para o entendimento da classificação de curvas algébricas cujo grupo de automorfismos contém algum subgrupo de ordem quadrado de um primo. Mais especificamente, seja $\mathcal{X}$ uma curva algébrica (projetiva, irredutível) de gênero $g>4$ definida sobre um corpo algebricamente fechado. Dado $q$ primo, exibimos cotas superiores para a ordem de um subgrupo $G$ do grupo de automorfismos de $\mathcal{X}$ tal que $|G|=q^2$. Além disso, caracterizamos as curvas que atingem algumas das maiores cotas obtidas.

Palavras-chave: curvas algébricas, grupos de automorfismos, característica positiva

Título: Uma leitura da produção de significados sobre a Matemática por estudantes da Educação Básica

Resumo: Nesta pesquisa investigamos a produção de significados sobre a Matemática por estudantes de 6º e de 9º ano do Ensino Fundamental – Anos Finais, escolhidas por representarem momentos inicial e final da trajetória escolar dos estudantes nesta etapa da Educação Básica, em um estudo de caso. A questão orientadora do trabalho é: quais significados sobre Matemática estão sendo produzidos por alunos em sala de aula da Educação Básica? O referencial teórico adotado para a pesquisa é o Modelo dos Campos Semânticos (MCS), desenvolvido por Rômulo Campos Lins, no qual significado é entendido como aquilo que efetivamente se diz sobre um objeto no interior de uma atividade. Este modelo é aqui articulado à estratégia metodológica de abordagem indireta, proposta por Vicente Garnica, utilizada por nós para criar situações nas quais estudantes possam falar sobre a Matemática sem serem diretamente perguntados sobre ‘o que ela é’. A pesquisa possui caráter qualitativo e foi realizada em uma escola pública da rede estadual de ensino de São Paulo, na qual o autor foi docente, envolvendo uma turma de cada ano escolar alvo. Para a produção de dados, realizamos três momentos principais: observações de aulas de matemática; aplicação de questionários aos estudantes; e interações – coletivas com alunos em sala e individuais com os professores. Com eles, buscamos compreender como os diferentes contextos influenciam a produção de significados sobre Matemática. Em cada um dos momentos foi feita uma análise dos dados nele obtidos para decidir sobre a elaboração do instrumento a ser aplicado na atividade seguinte, de modo a adequar-se aos nossos objetivos. A partir da pesquisa de campo, concluímos que os estudantes produzem múltiplos significados sobre a Matemática, entre os quais destacamos: uma associação frequente a cálculos e procedimentos; sua utilidade futura para exames e carreiras profissionais; e ainda experiências desafiadoras, difíceis, interessantes ou frustrantes. Tais significados são influenciados por discursos sociais, experiências escolares e pelas práticas docentes que organizam o espaço comunicativo da sala de aula sendo, portanto, dinâmicos e variáveis de acordo com os contextos. Como contribuição, o trabalho evidencia a importância de compreender a sala de aula como um espaço de produção de significados e destaca o papel do professor na legitimação de determinados modos de falar e pensar sobre a Matemática. Os resultados também permitem problematizar a presença de formas de violência simbólica no processo de ensino, na medida em que determinadas maneiras de significar a Matemática são naturalizadas como únicas ou legítimas, enquanto outras são desvalorizadas ou silenciadas, contribuindo para processos de exclusão e de fracasso escolar. Ao tornar visíveis tais processos, o estudo oferece subsídios para a reflexão sobre a prática docente e aponta caminhos para a ampliação das possibilidades de produção de significados pelos estudantes no ensino de matemática.

Palavras-chave: produção de significados, Modelo dos Campos Semânticos, violência simbólica no ensino de matemática, formação de professores.

Título: Teoria de Feixes em problemas computacionais

Resumo: Neste trabalho modelamos problemas computacionais como pré-feixes que atribuem conjuntos de certificados a instâncias e mostramos como utilizar cohomologia de Čech de pré-feixes para capturar precisamente de que forma soluções locais falham em serem unidas em soluções globais. Aplicados a problemas como VertexCover, CycleCover, e OddCycleTransversal, nossa abordagem expõe fenômenos emergentes como ciclos ocultos ou expansão de pequenas soluções locais. Essa perspectiva não só reformula em termos cohomológicos resultados clássicos como o Teorema de König, mas também revela como tratar sistematicamente de falhas à composicionalidade. Apesar de nosso foco principal ser em pré-feixes de conjuntos, os métodos aqui apresentados podem ser naturalmente generalizados para pré-feixes abelianos, o que sugere uma interação rica entre teoria de grafos, cohomologia e complexidade. Este trabalho representa um primeiro passo em direção a um estudo sistemático e feixe-teórico de estruturas algorítmicas e obstruções relacioadas.

Palavras-chave: Teoria das Categorias, Teoria de Feixes, Programação Dinâmica

Título: Em Direção ao Topos Monoidal

Resumo: Nesta tese desenvolve-se a teoria de Q-sets, genealogicamente ligada à teoria de Ω-sets, sendo esta primeira uma extensão para o caso não-locálico: este sendo quantales comutativos de sortes diversas. São providas construções categoriais e estudadas propriedades como presentabilidade local, (co-) completude, uma hierarquia de estruturas monoidais, a adaptação do conceito de singleton, completamento por singletons entre outros, são estudadas. Além disto, são discutidas a conexão da completude de Scott—isto é, por singletons— com as demais, e com a completude de Cauchy, para o análogo direto de nossos objetos: espaços métricos. Adicionalmente, desenvolveu-se a teoria de tripos lineares, com as adaptações necessárias para definir um potencial exemplo do almejado “topos monoidal.” Para tanto, fez-se provar resultados como a presença de (co-) produtos finitos, e o desenvolvimento de uma teoria análoga à de singletons, a elaboração necessária de uma linguagem interna linear, entre outros resultados.

Palavras-chave: Quantale-Set, Tripos, Topos, Lógica Substrutural, Lógica Categorial.

Título: Análise e Homogeneização de Sistemas Locais–Não Locais Acoplados

Resumo: Esta tese tem como objetivos investigar problemas mistos locais--não locais e analisar o comportamento assintótico de sistemas acoplados definidos em domínios complementares. Consideramos um modelo de difusão a partir do qual, em uma região $A$, a dinâmica é governada pelo operador de Laplace com condição de fronteira homogênea de Neumann, enquanto em uma região disjunta $B$, descreve-se uma equação elíptica dada por operadores integrais não locais associados a núcleos simétricos de probabilidade. O acoplamento entre as regiões ocorre por meio de termos integrais que modelam interações de longo alcance. Inicialmente, estudamos um sistema elíptico--parabólico e demonstramos que ele admite uma estrutura variacional natural: a equação parabólica pode ser interpretada como fluxo gradiente em $L^2(A)$ de um funcional de energia adequado, ao passo que a equação não local corresponde à condição ótima associada à minimização de um funcional estritamente convexo em $L^2(B)$. Com base nessa estrutura, estabelecemos resultados de existência e unicidade de soluções, bem como propriedades de decaimento exponencial das soluções e conservação de massa em relação ao dado inicial, em que o problema de Neumann é fortemente considerado. A tese também aborda problemas de homogenização do sistemas, no caso puramente elíptico, em considerando domínios perfurados e faixas periódicas, em que o sistema nos permite explorar cada parte do domínio em cada equação, em que analisamos o comportamento das soluções quando o parâmetro microscópico $\frac{1}{n}$ tende a zero e caracterizamos o operador efetivo limite por meio de problemas de célula em três formas diferentes, evidenciando como a interação entre mecanismos locais e não locais influencia o comportamento macroscópico do modelo nessas análises.

Palavras-chave: problemas mistos locais-não locais, sistemas elíptico--parabólicos, condições de Neumann, homogeneização,domínios perfurados,análise assintótica

Título: Um estudo sobre o uso de aprendizado por reforço para a geração de casos de teste baseado em modelos

Resumo: A crescente complexidade dos sistemas reativos impõe desafios relevantes às atividades de verificação e validação de software, especialmente quando a geração de casos de teste depende de exploração extensiva do comportamento modelado. Nesse contexto, o Teste Baseado em Modelos (\textit{Model-Based Testing} -- MBT) constitui uma estratégia para derivar casos de teste a partir de modelos formais, entre os quais os \textit{statecharts} se destacam por sua capacidade de representar hierarquia, paralelismo e comunicação orientada a eventos. Entretanto, a aplicação direta de técnicas clássicas de MBT sobre modelos complexos enfrenta limitações de escalabilidade, em razão do crescimento combinatório do espaço de estados e do custo associado à derivação de artefatos de teste. Esta dissertação investiga o uso de Aprendizado por Reforço, com ênfase em \textit{Q-Learning}, como mecanismo de exploração automática de modelos comportamentais para geração de casos de teste. A abordagem proposta organiza-se em três etapas principais. Inicialmente, o comportamento do sistema é representado por meio de \textit{statecharts}. Em seguida, o modelo é transformado em uma máquina de estados finitos (\textit{Finite State Machine} -- FSM) plana por um processo de planificação, tornando-o compatível com a representação tabular exigida pelo \textit{Q-Learning}. Sobre essa FSM, um agente de aprendizado por reforço interage com o ambiente e produz sequências de execução orientadas por uma função de recompensa associada a critérios de cobertura. Como contribuição metodológica e prática, o trabalho descreve a implementação do processo de transformação de \textit{statecharts} em FSM, a integração desse modelo transformado com um agente de \textit{Q-Learning} e a geração automática de sequências de teste a partir dos episódios de exploração. A avaliação da abordagem é estruturada com base em métricas de cobertura de estados e cobertura de transições, permitindo analisar a adequação do uso de aprendizado por reforço no contexto de MBT para sistemas reativos.

Palavras-chave: MBT, SC, FSM/MEF, AR/RL, QL, GACT.

Título: Um quadro lagrangiano abstrato para derivadas de forma em problemas de Stokes com fronteira livre

Resumo: Problemas de fronteira livre associados ao escoamento viscoso incompressível governado pelas equações de Stokes são investigados sob a perspectiva da otimização de forma e da análise funcional. Considera-se inicialmente um problema bidimensional no qual parte da fronteira do domínio fluido é desconhecida e deve ser determinada a partir de condições físicas impostas sobre o escoamento. O problema é reformulado por meio de problemas auxiliares de Dirichlet e Neumann, conduzindo a uma formulação variacional do sistema de Stokes em domínios deformáveis. Nesse contexto, estabelecem-se resultados de existência e unicidade das soluções associadas utilizando métodos mistos e condições do tipo inf-sup. Em seguida, analisa-se a dependência das soluções em relação a perturbações geométricas do domínio, demonstrando a diferenciabilidade material dos estados e derivando a correspondente derivada de forma de um funcional do tipo Kohn–Vogelius, introduzido para medir a discrepância entre as soluções dos problemas auxiliares. A segunda parte do trabalho desenvolve um quadro lagrangiano abstrato para problemas de otimização de forma sujeitos simultaneamente a restrições de estado e restrições geométricas. Nesse contexto, o problema de Stokes é reinterpretado como um problema de otimização com restrição de volume, permitindo eliminar a não unicidade geométrica do problema irrestrito. Introduz-se então um formalismo abstrato baseado em operadores definidos entre espaços funcionais adequados, no qual as equações de estado e as restrições geométricas são incorporadas via multiplicadores de Lagrange. Por meio dessa estrutura, obtêm-se formulações adjuntas e expressões da derivada de forma diretamente a partir da diferenciação do Lagrangiano, evidenciando a interpretação geométrica da restrição de volume como projeção sobre o espaço tangente das deformações admissíveis. Estabelece-se, assim, uma conexão entre a análise específica do problema de Stokes com fronteira livre e um quadro abstrato geral para derivadas de forma em problemas restritos.

Palavras-chave: Problema de Stokes; fronteira livre; otimização de forma; funcional Kohn-Vogelius; formulação variacional.

Título: Aspectos Práticos da Aproximação de Funções baseada no Teorema de Superposição de Kolmogorov-Arnold

Resumo: Esta dissertação discorre sobre aspectos práticos de aproximação funcional baseada no Teorema de Superposição de Kolmogorov-Arnold, o qual proclama que qualquer função contínua de múltiplas variáveis pode ser escrita como superposição de funções univariadas. A construção escolhida foi a de \citep{lorentz1966} para o caso bivariado, na qual sua construção é replicada, ilustrada e transformada em um algoritmo de fácil implementação. Com o aumento da popularidade de construções de redes neurais baseadas no teorema, a demanda por trabalhos que expliquem o teorema de maneira simples, aumenta. Esse estudo apresenta uma nova maneira de apresentar uma das configurações mais tradicionais do teorema: \citep{lorentz1966}. A contribução primária deste trabalho é de criar uma nova configuração de funções internas, incluindo exemplos visuais, algorítmicos e númericos para o leitor. A fim de atingir o objetivo citado, esse estudo traz uma versão modificada da demonstração do \citep{lorentz1966} com anotações mais clara e um exemplo númerico, ambos focados nos aspectos práticos.

Palavras-chave: Teorema de Kolmogorov-Arnold, aproximação de funções, Redes Neurais

Título: Variação individual no risco de malária: causas e consequências em populações amazônicas

Resumo: A malária por Plasmodium vivax permanece como importante problema de saúde pública na Amazônia brasileira. Este estudo teve como objetivo investigar a associação entre variantes genéticas e desfechos relacionados à infecção por P. vivax em uma coorte longitudinal de Mâncio Lima (AC). Foram analisados 1608 participantes acompanhados entre 2018 e 2021 em sete visitas, com diagnóstico por PCR. Dois fenótipos foram considerados, a contagem total de visitas com PCR positivo por indivíduo ao longo do período (0–7) e a ocorrência anual em quatro tempos (t = 1, ... , 4). As amostras foram genotipadas por SNP array e, após controle de qualidade e LD pruning, 212575 SNPs foram incluídos na varredura genômica. A estrutura populacional foi caracterizada por PCA com indivíduos de referência do projeto 1000 Genomas e os componentes principais foram usados como covariáveis. A dependência genética entre indivíduos foi modelada por uma matriz de relacionamento genômico (GRM). As associações foram avaliadas por modelos lineares generalizados mistos: Poisson e logístico longitudinal, cada um sem e com GRM. A significância estatística foi definida por correção de Bonferroni aplicada ao teste de escore, e estimativas de efeito foram obtidas por teste de Wald em SNPs selecionados. Observou-se melhora substancial de calibração ao incorporar a GRM no desfecho de contagem, em contraste com inflação no Poisson sem GRM. O SNP rs66810451 destacou-se como principal sinal sob modelos com GRM e um conjunto de variantes foi recorrente entre modelos (rs6598529, rs66810451, rs72663623, rs8073498 e rs9874079). O rs2814778 (ACKR1/Duffy) foi avaliado, apresentando evidência nominal, porém sem atingir significância genômica. Conclui-se que o controle de ancestralidade é essencial em GWAS de populações miscigenadas.

Palavras-chave: Malária. Plasmodium vivax. GWAS. GRM. Ancestralidade.

Título: Equações de estimação generalizadas para dados ordinais

Resumo: Neste trabalho são apresentadas equações de estimação generalizadas para respostas ordinais com medidas repetidas. O foco está em duas abordagens para modelar a associação entre observações de uma mesma unidade experimental: a modelagem pela matriz de correlação e a modelagem por razões de chances locais. Inicialmente, é feita uma revisão sobre funções de estimação, equações de estimação e modelos de regressão ordinal. Em seguida, são desenvolvidos os componentes das equações de estimação generalizadas para respostas ordinais, bem como os procedimentos de inferência associados. Também são discutidos métodos de diagnóstico baseados nos resíduos surrogate e quantílicos, com o objetivo de avaliar a adequação da média marginal e da estrutura de associação. Para ilustrar a metodologia, são realizados estudos de simulação com respostas ordinais correlacionadas sob diferentes cenários de tamanho amostral e estrutura de dependência. Os resultados indicam consistência e boa eficiência das estimativas, além de bom desempenho dos resíduos na identificação de má especificação da média e da estrutura de associação. Por fim, são analisados dois conjuntos de dados reais: um estudo sobre intervenção breve no consumo de álcool e um experimento comportamental com camundongos. Em ambos os casos, os resultados obtidos foram coerentes com o contexto aplicado e com as conclusões dos estudos de referência.

Palavras-chave: Dados ordinais, Medidas repetidas, Equações de estimação generalizadas, Resíduos surrogate, Resíduos quantílicos