Próximas defesas

Título: Representações de álgebras de Lie de campos vetoriais em variedades e supervariedades algébricas

Resumo: Esta tese é dedicada a um estudo sobre a estrutura e a teoria de representação de algumas álgebras de Lie e superálgebras de Lie de dimensão infinita. A primeira família estudada é a álgebra de Lie de campos vetoriais em uma variedade algébrica afim suave. Após uma exposição sobre a estrutura dessas álgebras de Lie, consideramos representações que admitem uma ação compatível do anel de coordenadas da variedade algébrica e são geradas finitamente como módulos sobre essa álgebra comutativa. Provamos que essas representações podem ser associadas a um feixe coerente que admite uma ação compatível do feixe tangente. Também provamos que a ação do feixe tangente é dada por um operador diferencial. A segunda família considerada é a versão em supergeometria da anterior. Após uma investigação sobre a suavidade de supervariedades algébricas, provamos que as seções globais do feixe tangente de uma supervariedade afim integral suave é uma superálgebra de Lie simples. Em seguida, consideramos as representações dessa superálgebra de Lie que admitem uma ação compatível das seções globais do feixe estrutural da supervariedade afim. De forma análoga ao caso não-super, mostramos que o feixe de módulos associado admite uma ação compatível do feixe tangente quando é coerente. Além disso, mostramos que essa ação é definida por um operador diferencial. Por fim, estudamos módulos de peso com multiplicidades finitas sobre a superálgebra de aplicações associada a uma superálgebra de Lie básica. Provamos que essas representações são cuspidais ou parabólicas induzidas de um módulo cuspidal limitado sobre uma subálgebra da superálgebra de aplicações. Mostramos também que módulos cuspidal limitado são módulos de avaliação.

Palavras-chave: (Super)álgebras de Lie de campos vetoriais, Representações de álgebras de Lie, Feixes de operadores diferenciais

Título: Análise de esquemas de volumes finitos para advecção em esferas cubadas e uma alternativa precisa para ventos divergentes

Resumo: O núcleo dinâmico FV3 do GFDL-NOAA-EUA, originalmente projetado para grades de latitude e longitude, foi adaptado à esfera cubada para melhorar a escalabilidade em supercomputadores massivamente paralelos, resultando na criação do núcelo dinâmico FV3. O FV3 serve como núcleo dinâmico para muitos modelos globais e, em 2019, foi selecionado como o núcleo dinâmico oficial para o novo Sistema Global de Previsão do Serviço Nacional de Meteorologia dos EUA, substituindo o modelo espectral. A abordagem de volume finitos do FV3 para resolver a dinâmica horizontal consiste na aplicação de fluxos de advecção para diversas variáveis; assim, o esquema de advecção desempenha um papel fundamental no modelo. Portanto, nesta tese, propomos investigar os detalhes do esquema de advecção do FV3. Conseguimos sugerir modificações no esquema de advecção do FV3 que melhoraram significativamente a advecção para ventos divergentes com apenas um pequeno esforço computacional adicional e pequenas mudanças no código existente do FV3. Realizamos várias simulações numéricas usando as equações de advecção e águas rasas. Como o esquema de advecção do FV3 consiste na combinação de operadores de fluxo de volume finitos 1D, nossas melhorias foram obtidas ao melhorar o cálculo do ponto de partida para os operadores de fluxo 1D e modificar a forma como o termo métrico da esfera cubada é tratado ao calcular os fluxos 1D. Através de simulações, demonstramos que o esquema de advecção atual do FV3 é apenas de primeira ordem para ventos divergentes, enquanto nosso esquema é de segunda ordem. Para ventos livres de divergência, ambos os esquemas são de segunda ordem, sendo o nosso esquema ligeiramente mais preciso. Uma grande dificuldade em trabalhar na esfera cubada é lidar com a descontinuidade das coordenadas ao longo das faces do cubo, o que pode levar a erros maiores nessas regiões. No entanto, demonstramos através de simulações numéricas que o esquema de advecção proposto apresenta uma sensibilidade ligeiramente reduzida aos cantos do cubo. Em resumo, esta tese oferece uma análise abrangente da discretização do FV3 da dinâmica horizontal, fornecendo uma valiosa compreensão para aprimorar a precisão do núcleo dinâmico do FV3, especialmente para ventos divergentes.

Palavras-chave: Núcleo dinâmico da atmosfera, esfera cubada, volumes finitos, ponto de partida, corretor de massa, equação de advecção, equação de águas rasas.

Título: O ensino de números irracionais: um estudo sobre Conhecimentos Especializados utilizados pelo professor

Resumo: Esta pesquisa sobre os Conhecimentos Especializados de Conteúdo de Deborah Ball destaca sua complexidade, evidenciando sua presença nas aulas observadas em 2019 e 2021 sobre números irracionais. Embora seja desafiador listá-los, sua tangibilidade ressalta a profundidade no ato de ensinar. Em 2021, a professora observada exemplificou suas habilidades utilizando uma atividade de duplicação do quadrado, destacando a importância do Conhecimento Especializado de Conteúdo no envolvimento dos alunos. Reconhecendo a dificuldade de ensinar muitas das características dos números irracionais, a pesquisa destaca a oportunidade de cultivar ambientes de aprendizado colaborativos e incentivar o compartilhamento de experiências entre professores em formação. Em convergência com Adler e Huillet, propõe círculos de discussão entre professores atuantes e aqueles em instrução, enfatizando que é possível extrair conhecimento formal da análise das experiências dos professores em sala de aula, enriquecendo a sua formação.

Palavras-chave: conhecimento, especializado, Ball, Adler, Huillet, irracionais, formação, aprendizagem

Título: Rompendo fronteiras: um estudo comparado na organização curricular de Matemática na Base Nacional Comum Curricular e os Núcleos de Aprendizagem Prioritários durante a última etapa da Educação Básica de Brasil e Argentina

Resumo: Inspirado pelo interesse em fortalecer os laços de amizade e de cooperação entre os países latino-americanos, com o objetivo de investigar a forma como transcorre o processo organizacional da Matemática como área (própria) do conhecimento e compreender como a Educação Matemática tem impactado a produção curricular com base nos documentos centrais que balizam essas ações e as políticas que são levadas, dando ênfase a diversos aspectos da didática da matemática. Dentro desse contexto, nos interessa observar o que tem motivado tanto o Brasil quanto a Argentina a adotarem uma abordagem curricular similar na contemporaneidade. Além disso, visa analisar o desenvolvimento do ensino-aprendizagem da matemática por meio desses projetos curriculares, realizando um estudo comparado sobre a forma como transcorre o processo organizacional da Matemática como área do conhecimento na Base Nacional Comum Curricular do Ensino Médio brasileira e dos Núcleos de Aprendizagens Prioritários destinados à formação geral básica dos estudantes na etapa do Ciclo Orientado da Educação Secundária argentina. Foram tomados como referência as concepções de Filho (2004) sobre a educação comparada, e as complementando com as percepções de Gvirtz, Vidal e Biccas (2009), Pires e Gonçalves (2017) e Cantoral (2017) sobre o tema, associando duas localidades distintas com elementos sócio-históricos comuns, e a partir de um objeto de estudo também comum, com a premissa de que isso possibilitaria desenvolver estudos para melhor compreensão dos resultados das políticas educacionais atuais de cada uma das localidades e seus projetos curriculares.

Palavras-chave: Educação Matemática, Educação Comparada, Currículos de Matemática, Ensino-aprendizagem de matemática, América Latina.

Título: Fantasmas de quantidades falecidas: o uso dos infinitésimos como ferramenta de quebra de paradigmas da matemática escolar

Resumo: O objetivo desta dissertação é servir como material auxiliar para o professor que pretende investigar ou desenvolver concepções as possíveis concepções não usuais que seus alunos possam ter a respeito de números, com foco nas concepções infinitesimais, que são aquelas que tratam o infinitamente pequeno como um número. Para isso, apresentamos e analisamos pesquisas anteriores a fim de elucidar em quais momentos da trajetória escolar do aluno, tais concepções são mais propensas a aparecer, estabelecendo assim, critérios que podem ser posteriormente utilizados pelos professores para que eles possam diferenciar tais concepções de obstáculos epistemológicos. Ao final do trabalho, apresentamos uma sugestão de atividade que pode ser utilizada, para desenvolver, junto aos alunos, uma possível estrutura cognitiva consistente, onde os infinitésimos possam ser manipulados para que eles possam descobrir a área da circunferência.

Palavras-chave: Infinitésimos, Concepção, Nonstandard, Circunferência, Número

Título: Otimização de forma e controle ótimo para problemas de fronteira livre

Resumo: Esta tese é sobre otimização de forma e controle ótimo para problemas de fronteira livre, primeiramente estudamos três problemas de fronteira livre, o problema de fronteira livre de Bernoulli, o problema de fronteira livre com tensão superficial e o problema de fronteira livre de Stokes, e também estudamos dois problemas de controle ótimo, o problema de controle ótimo da fronteira livre do problema de Bernoulli e o controle ótimo da fronteira livre do problema com tensão superficial. No estudo do problema da fronteira livre do problema com tensão superficial surgiu um novo problema, um problema de fronteira livre com condições de fronteira de tipo Ventcel, provamos a existência e a unicidade da solução de tal problema. O objetivo aqui é contribuir com aspectos teóricos na área de otimização de forma e de controle ótimo para problemas de fronteira livre. Em particular, estudamos quatros problemas de fronteira livre, de Bernoulli, com tensão Superficial, de tipo Ventcel e de Stokes. Para tanto, são apresentados resultados sobre a diferenciabilidade em relação à forma. Além disso, utilizamos algumas ideias de pesquisa da teoria de otimização de forma e controle ótimo para provar a existência e unicidade dos três primeiros problemas citado aqui neste parágrafo, e o controle ótimo foram realizados. Para tanto, acreditamos que tais resultados podem ser importantes e utilizados para pesquisa numérica para aprimoração da proximidade de interfaces de forma, fazendo uso de algum algoritmo de otimização de forma, por exemplo o Level-Set Méthod. Resultados teóricos são apresentados para os problemas de fronteira livre com tensão su- perficial, a existência e unicidade do problema é provado, também é feito o controle ótimo para a fronteira livre de tal problema. No estudo do problema de tensão superficial surgiu um problema de fronteira livre com o operador de Laplace-Beltrame na fronteira, e então provamos a existência e unicidade de tal problema utilizando resultados sobre regularidade de equações diferenciais parciais, otimização de forma, análise funcional e resultados sobre espaços de Sobo- lev. No estudo do problema fronteira livre de Bernoulli, apresentamos algumas expressões de domínios, utilizamos nesta etapa o método do adjunto médio. Já na parte de controle da fron- teira livre do problema de Bernoulli, conseguimos mostrar a existência e unicidade do problema utilizando um funcional objetivo diferente do apresentado por Antoine et all em [14]. Para o problema de Stokes, apresentamos a derivada de forma de cada uma das equações que compõe o sistema de equações diferenciais parciais de Stokes. No estudo do problema de fronteira livre de Stokes nos deparamos com um novo problema, semelhante ao problema de Stokes. Deixa- mos como direções de pesquisas futuras mostrar a existência e unicidade da solução para esse sistema semelhante ao de Stokes.

Palavras-chave: Otimização de forma, fronteira livre, controle ótimo, derivada de forma