Próximas defesas

Título: Adaptação e avaliação da técnica de mutação condicional para a linguagem de programação funcional Haskell

Resumo: O teste de software é uma parte importante do processo de desenvolvimento de software e que permite assegurar a qualidade do mesmo, porém existe um alto custo, tanto de capital humano quanto computacional envolvido neste processo. Com o intuito de permanecer no mercado de forma competitiva, há um esforço das empresas em reduzir custos e aumentar a qualidade de seus produtos, dessa forma, a busca por otimizar os testes de software é bastante estudada e investigada atualmente. Para testar a eficiência de um conjunto de testes, criado para um software, é comumente utilizado o teste de mutação, pois este permite encontrar trechos de software que contém condições que não foram contempladas pelo conjunto de testes. Apesar de necessitar de pouco capital humano, o custo computacional envolvido no teste de mutação é elevado, pois o processo envolve um grande número de compilações referentes aos mutantes, que são os programas gerados a partir de pequenas alterações no software original ao qual o conjunto de testes se compromete em testar. O objetivo deste trabalho é adaptar e avaliar a técnica de mutação condicional, a qual evita a necessidade de múltiplas compilações, aplicada à linguagem de paradigma funcional Haskell. Este é um estudo quantitativo sobre o custo computacional envolvido na execução do teste de mutação com e sem a aplicação da técnica de mutação condicional. A contribuição prática deste trabalho será a adaptação e implementação de tal técnica, comumente aplicada a linguagens de paradigma imperativo, à linguagem de paradigma funcional Haskell. O resultado deste trabalho avaliará a eficiência da técnica de mutação condicional quando aplicada a uma linguagem de paradigma funcional com avaliação preguiçosa.

Palavras-chave: custo computacional, teste de mutação, mutação condicional, programação funcional, Haskell

Título: Estimando o número de neurônios ocultos em redes neurais

Resumo: Considerando alguns contextos de redes neurais de uma camada oculta para respostas reais, existem resultados mostrando a consistência de estimadores de máxima verossimilhança penalizada (Rynkiewicz, 2006) e group lasso adaptativo (Ho e Dinh, 2022) para estimar o número de neurônios ocultos em redes neurais. Nós provamos que é possível definir estimadores consistentes de máxima verossimilhança penalizada para o número de neurônios ocultos em problemas de classificação. Finalizamos o trabalho com uma simulação e duas aplicações para mostrar as questões práticas inerentes à seleção de modelos em redes neurais.

Palavras-chave: Redes Neurais,Seleção de Modelos,Processos Empíricos

Título: Constantes de Erdős-Ginzburg-Ziv de Grau Alto em Anéis

Resumo: Seja �� um anel comutativo com unidade e �� e �� inteiros positivos. Definimos EGZ(��, ��, ��) como o menor inteiro positivo �� (se existir) com a seguinte propriedade: dada qualquer sequência ��1, . . . , ���� de �� elementos de ��, existe uma sub-sequência ����1 , . . . , ������ de �� termos tais que ����(����1 , . . . , ������ ) = 0, onde ����(��1, . . . , ����) denota o ��-ésimo polinômio simétrico elementar em �� variáveis, ou seja, ����(��1, . . . , ����) =∑︀_{��∈{1,...,��}, |��|=��}∏︀ ��∈�� ���� . Em particular, o teorema clássico de Erdős-Ginzburg-Ziv afima que, para todo �� ≥ 1, temos EGZ(��, Z��, 1) = 2�� − 1. O único anel cujos valores de EGZ eram conhecidos sempre que definidos é Z2. Nós expandimos esse estudo achando os valores exatos de EGZ(��, Z3, 3^��) e de classes infinitas de (��, ��) em todos aneis de 4 elementos, com exceção de F4. Também achamos cotas superiores novas para EGZ em aneis de característica prima, bem como mostramos um novo padrão de periodicidade geral de EGZ em ��.

Palavras-chave: Problemas de soma zero, Teorema de Erdős-Ginzbug-Ziv, Métodos algébricos em Combinatória

Título: Variáveis Instrumentais na Inferência Causal

Resumo: Esta dissertação está organizada em duas partes principais. Na primeira, são apresentados os fundamentos da inferência causal, incluindo definições formais, teoremas fundamentais e estimandos causais de interesse, bem como o arcabouço probabilístico e gráfico que sustenta essa teoria. A segunda parte, que constitui a principal contribuição deste trabalho, examina o papel das variáveis instrumentais na identificação de efeitos causais na presença de confundidores latentes. É realizada uma revisão abrangente das abordagens metodológicas disponíveis na literatura científica atual, contemplando cenários com variáveis resposta, tratamento e instrumento de natureza contínua, discreta e categórica. Para cada configuração, são discutidos os efeitos causais identificáveis, suas interpretações, pressupostos, vantagens e limitações. Além disso, são conduzidos estudos de simulação que ilustram a aplicabilidade dos métodos e avaliam a confiabilidade das estimativas obtidas

Palavras-chave: Inferência Causal. Variáveis Instrumentais. Local Average Treatment Effect (LATE).

Título: Métodos para identificar estatísticas suficientes minimais

Resumo: Seja f_\theta uma densidade de probabilidade conjunta de uma amostra aleatória X. Um critério padrão afirma que uma estatística T(X) é suficiente minimal se, para quaisquer pontos amostrais x e y, a razão f_\theta(y)/f_\theta(x) é independente de \theta se, e somente se, T(x)=T(y). Embora amplamente aplicado, a validade desse critério depende de condições de regularidade implícitas que nem sempre são satisfeitas. Construímos um contraexemplo demonstrando que o método falha quando tais condições não são satisfeitas. Lehmann e Scheffé (1950) foram os primeiros a estabelecer condições para a validade do critério, porém difíceis de verificar na prática; Sato (1996) propôs posteriormente alternativas que permanecem de difícil verificação. Introduzimos um método que contorna essa dificuldade quando a estatística é sabidamente suficiente. Esta abordagem fornece uma generalização do resultado de Sato. Finalmente, analisamos um método distinto para a identificação de estatísticas suficientes minimais desenvolvido por Pfanzagl (1994, 2015) e apresentamos um contraexemplo mostrando que tal resultado falha na ausência de hipóteses adicionais.

Palavras-chave: estatística suficiente minimal, estatística suficiente, teorema da fatoração de Neyman-Fisher, método de Sato, método de Pfanzagl, espaços de Borel

Título: Ferraduras Topológicas

Resumo: Neste trabalho, é apresentada uma versão traduzida, expandida e mais detalhada do artigo de Kennedy e Yorke a respeito de ferraduras topológicas. Para isso, primeiramente é feita uma exposição da história do conceito de ferraduras topológicas, bem como sua importância no campo atual de sistemas dinâmicos e suas definições alternativas criadas para diferentes contextos. Finalmente, define-se a ferradura topológica de acordo com Kennedy e Yorke e trabalha-se o teorema principal, que define condições suficientes para a determinação de uma ferradura topológica, reconstruindo sua prova. São expostos exemplos para solidificar o conceito e auxiliar na visualização da prova, que compõe o principal resultado do trabalho.

Palavras-chave: ferraduras, dinâmica topológica, caos

Título: Comparação de métodos de penalização na qualidade de predições em modelos de análise de sobrevivência

Resumo: Este trabalho tem como objetivo avaliar o desempenho preditivo de métodos de penalização, como Firth, Lasso e Ridge, em modelos de sobrevivência, com foco na aplicabilidade desses métodos em cenários com amostras pequenas e alta censura. O estudo também busca analisar os efeitos dessas técnicas na estimativa dos parâmetros de modelos paramétricos, visando aprimorar a precisão das análises nestes contextos desafiadores. Para isso, são conduzidos experimentos com dados simulados, nos quais os métodos são comparados utilizando métricas como viés, erro quadrático médio, área sob a curva, índice de concordância e escore de Brier para avaliar as estimativas dos parâmetros e a performance preditiva. Além disso, é avaliado o desempenho computacional, considerando o tempo de execução e a taxa de convergência dos modelos. Para comparar essas metodologias, além dos estudos de simulação, é realizada uma aplicação prática dessas técnicas em um conjunto de dados de um estudo do Instituto do Coração do Hospital das Clínicas da FMUSP. Os resultados indicam que o método de penalização Firth apresenta os melhores resultados em termos de viés e erro quadrático médio, especialmente em contextos com amostras pequenas e alta censura. Contudo, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a robustez dos modelos cresce, o que diminui as variações nas estimativas e minimiza as diferenças entre os métodos. A análise também evidencia pontos positivos e negativos para os modelos paramétricos e semi-paramétricos, destacando a importância da correta especificação da distribuição paramétrica. A escolha inadequada da distribuição nos modelos paramétricos compromete a precisão das estimativas, enquanto a ausência de uma função paramétrica para o tempo de falha nos modelos semi-paramétricos limita a previsão de tempos absolutos de sobrevivência. Em termos de desempenho computacional, os modelos ajustados por máxima verossimilhança são os mais rápidos, seguidos pelo método Firth, enquanto os métodos Lasso e Ridge exigem mais tempo devido ao processo de seleção de penalização. Em cenários com alta censura ou limitações amostrais, o método de Firth se mostra preferível por sua maior robustez e precisão preditiva.

Palavras-chave: análise de sobrevivência, predição, técnicas de penalização.

Título: Unidades em anéis de grupos

Resumo: Seja $C_p$ um grupo cíclico de ordem $p$ prima e seja $\mathbb{Z}$ o anel de inteiros. Nosso objetivo é estudar conjuntos geradores das unidades do anel de grupo $\mathbb{Z}C_p$. Defina $u_i$ as unidades de $\mathbb{Z}C_p$ onde $t$ é uma raiz primitiva módulo $p$, $r$ é o menor inteiro positivo tal que $tr$ é congruente a $1$ módulo $p$ e $k$ é o inteiro $(rt-1)/p$ então temos que $u_i=(\sum_{j=0}^{r-1}g^{tj})(\sum_{j=0}^{t-1}g^{jt^i})-k\hat{g}$ para cada $i,1\leq i\leq (p-3)/2$. Ferraz, em seu artigo \textit{''Units of $\mathbb{Z}C_p$``}, exibiu três conjuntos geradores isomorfos para $\mathcal{U}(\mathbb{Z}C_p)$ e estudamos esses conjuntos para escrever as unidades de $\mathbb{Z}C_p$ em um $t$ como combinação linear das unidades de $\mathbb{Z}C_p$ em outro $t$ distinto dois a dois, onde explicitamos para o caso $p=7$ e mostramos como calcular para outros p primos. Por fim, estudamos brevemente como podemos expandir os conjuntos das unidades para $\mathbb{Z}C_{2p}$.

Palavras-chave: Anéis de grupo integral, grupo cíclico, unidades de anéis de grup

Título: O Grupo dos Automorfismos Externos da Categoria das Álgebras Não-associativas Finitamente Geradas Livres Nilpotentes de Grau n

Resumo: A área de Geometria Algébrica Universal é uma ampla generalização da Geometria Algébrica, que busca realizar Geometria Algébrica sobre estruturas algébricas arbitrárias. Esta tese de doutorado aborda alguns aspectos da Geometria Algébrica Universal sobre álgebras nilpotentes não-associativas. Mais precisamente, estudamos automorfismos da categoria das álgebras nilpotentes livres finitamente geradas. Quando consideramos uma variedade arbitrária de álgebras $\Theta$ e duas álgebras $H_1,H_2\in \Theta$, podemos perguntar: quando elas têm a mesma geometria? Em outras palavras, perguntamos quando a transição de sistemas de equações para suas soluções é realizada da mesma maneira. A resposta depende do que entendemos pelas palavras "da mesma maneira". Dois conceitos surgem nessa consideração: o conceito mais restrito de equivalência geométrica e o conceito mais amplo de equivalência automórfica. Ao considerar a categoria $\Theta^{0}$ de álgebras livres finitamente geradas da variedade $\Theta$, o grupo quociente $\mathfrak{A}/\mathfrak{Y}$ do grupo $\mathfrak{A}$ de todos os automorfismos de $\Theta^{0}$ pelo subgrupo normal $\mathfrak{Y}$ de todos os automorfismos internos de $\Theta^{0}$ mede a possível diferença entre equivalência geométrica e equivalência automórfica de álgebras universais da variedade $\Theta$. Chamamos este grupo quociente de grupo dos automorfismos externos da categoria das álgebras livres finitamente geradas da variedade $\Theta$. Se considerarmos a variedade $\Theta_{n}$ de todas as álgebras nilpotentes não associativas de grau $n$, e o grupo quociente $\mathfrak{A}_{n}/\mathfrak{Y}_{n}$ do grupo $\mathfrak{A}_{n}$ de todos os automorfismos da categoria $\Theta_{n}^{0}$ de todas as álgebras nilpotentes livres finitamente geradas de grau $n$, pelo subgrupo normal $\mathfrak{Y}_{n}$ de todos os automorfismos internos de $\Theta_{n}^{0}$, A. Tsurkov conjecturou que, para cada $n\geq3$, temos $\mathfrak{A}_{n}/\mathfrak{Y}_{n}\cong\Bbbk^{\ast }\rtimes\operatorname{Aut}\Bbbk$. Esta conjectura foi provada nos casos em que $n=3,4$ e $5$. Nesta tese, avançamos significativamente em direção à prova geral desta conjectura e explicamos detalhadamente nosso plano para prová-la. Cumprimos parcialmente este plano introduzindo uma nova abordagem para trabalhar com computações envolvendo monômios não-associativos, usando a linguagem de árvores binárias, e aplicando-a para alcançar alguns resultados principais necessários para provar a conjectura no caso geral.

Palavras-chave: Geometria algébrica universal, Grupo dos automorfismos externos, Álgebras não-associativas nilpotentes

Título: Grandes Modelos de Linguagem como Ferramentas para Descoberta Causal

Resumo: Descoberta Causal (CD) é a tarefa de inferir estruturas causais automaticamente, usualmente a partir de dados observacionais. Recentemente, muitos trabalhos têm demonstrado interesse em utilizar o conhe- cimento contido nos Grandes Modelos de Linguagem (LLMs) para realizar tarefas de CD. Porém, os algorit- mos de CD existentes atualmente que utilizam LLMs, geram apenas um único Grafo Direcionado Acíclico (DAG) sem nenhuma forma de incerteza, o que diminui a confiança no resultado. Logo, esta dissertação explora métodos de Aprendizado Estrutural Bayesiano (BSL) — os quais produzem distribuições de grafos, representações naturais de incerteza — e utiliza LLMs para aprimorar sua capacidade de inferência. Este trabalho tem três objetivos principais. Primeiramente, discutimos e revisamos algoritmos básicos de CD e abordagens baseadas em LLMs. Há também uma curta seção que explora diferentes modos de calcular a incerteza da saída de um LLM. Em segundo lugar, investigamos o uso de LLMs em conjunto com métodos de BSL para CD. Especificamente, propomos utilizar o conhecimento do LLM como uma distribuição a priori do modelo BSL sobre possíveis grafos. Nossos experimentos mostram que, tais distribuições a priori retiradas da LLM podem aperfeiçoar o desempenho dos métodos Bayesianos. Finalmente, o texto também traz um trabalho onde focamos em Grafos Ancestrais (AGs), o que nos permite lidar com modelos que contenham confundidores latentes. Além disso, nossa abordagem utiliza uma LLM como um “expert-in-the- loop”, misturando a distribuição aprendida pelos dados com a informação recebida do especialista, no caso a LLM, durante o processamento do modelo. Nossos experimentos mostram que nosso método é competitivo em relação a outros que abordam confundidores latentes, tanto em conjuntos de dados sintéticos quanto reais; além disso, nosso design para incorporar o feedback de um especialista humano (simulado) ou de um LLM melhora a qualidade da inferência.

Palavras-chave: Causalidade, Descoberta Causal, Descoberta Causal Bayesiana, Grandes Modelos de Linguagem.

Título: Regression analysis of quality-adjusted survival in cancer patients admitted to intensive care units a novel estimation method

Resumo: O principal objetivo do trabalho é propor um modelo de regressão preditivo para um conjunto de dados de pacientes de câncer admitidos na UTI do estudo proveniente do Instituto de Câncer do Estado de São Paulo (ICESP), todavia a abordagem pode ser utilizada para quaisquer estudos de tempo de sobrevivência ajustado pela qualidade de vida. Neste trabalho, propomos um novo estimador para o modelo de regressão semiparamétrico para modelagem simultânea do tempo de sobrevivência e o tempo de sobrevivência ajustado pela qualidade de vida. A equação de estimação dos parâmetros baseia-se nos testes de hipóteses não-paramétricos para comparação de curvas de sobrevivência, e considera uma ponderação pelo inverso da distribuição da censura. Por conta disso, as estimas do modelo não são afetadas pela censura informativa, tal qual é muito comum em estudos de análise da qualidade de vida ajustada pelo tempo de sobrevivência. Estudos de simulação de Monte Carlo mostram que o modelo proposto apresenta melhores resultados comparado ao modelo de referência utilizado. Em seguida uma aplicação com os dados da pesquisa do ICESP é feita. Por fim, é apresentada uma discussão dos resultados do trabalho, destacando as principais contribuições do trabalho, bem como os trabalhos futuros.

Palavras-chave: Tempo de Sobrevivência Ajustado pela Qualidade de Vida, Censura Informativa, Análise de Sobrevivência

Título: Matemática Aplicada à Inteligência Artificial Generativa (GenAI)

Resumo: Esta dissertação apresenta uma visão integrada dos principais fundamentos matemáticos que sustentam a Inteligência Artificial Generativa (GenAI) e os modelos fundacionais modernos. São discutidos, de forma clara e concisa, os conceitos essenciais por trás de arquiteturas como Transformers, Modelos de Difusão, VAEs e GANs, destacando como atenção, processos estocásticos, inferência variacional e aprendizado adversarial permitem que esses sistemas gerem textos, imagens e outras modalidades com alta qualidade. Também são abordados os princípios que organizam espaços latentes, o alinhamento entre diferentes modalidades e a crescente adoção de arquiteturas híbridas. O objetivo central é oferecer ao leitor um entendimento matemático acessível e unificado, mostrando como esses elementos se conectam para formar a base teórica e computacional da IA generativa atual.

Palavras-chave: Inteligência Artificial Generativa, Matemática Aplicada, Modelos Fundacionais

Título: Processos de Hawkes e aplicações

Resumo: Esta dissertação investiga a modelagem de processos pontuais autoexcitáveis, especificamente processos de Hawkes, para analisar eventos que exibem agrupamento temporal. O objetivo principal é desenvolver métodos de inferência eficientes e ampliar a aplicabilidade do modelo por meio de uma estrutura computacional para processos de Hawkes dependentes do estado (msd-Hawkes). Introduzimos um pipeline metodológico que incorpora técnicas de regularização, como penalidades L1/L2 e Elastic Net, para automatizar a seleção de variáveis e aprimorar sua interpretabilidade. As metodologias propostas são validadas por meio de estudos de simulação e duas aplicações práticas. Primeiro, na área de segurança pública, analisamos dados de violência armada da plataforma Fogo Cruzado, no Rio de Janeiro, empregando modelos multivariados para identificar a causalidade de Granger entre tipos de eventos e regiões. Segundo, em finanças quantitativas, aplicamos modelos dependentes do estado a dados de negociação de alta frequência da Bolsa de Valores do Brasil (B3). Os resultados demonstram que a incorporação de variáveis de estado, como o desequilíbrio do livro de ofertas, melhora significativamente a qualidade do ajuste e da precisão das previsões em comparação com os modelos de referência. Acreditamos que este trabalho oferece uma contribuição metodológica válida para a aplicação dos processos de Hawkes à dinâmica complexa de sistemas sociais e financeiros.

Palavras-chave: Processos estocásticos pontuais. Modelos dependentes de estado. Inferência em processos estocásticos. Negociação de alta frequência.

Título: Sobre potências enumeravelmente compactas de grupos e semigrupos topológicos

Resumo: No presente trabalho, assumindo a existência de $2^{\mathfrak c}$ ultrafiltros seletivos incomparáveis, obtemos uma nova resposta à pergunta de Comfort sobre compacidade enumerável em potências infinitas de grupos topológicos. Isto é, para cada cardinal infinito $\alpha \leq 2^{\mathfrak c}$, existe um grupo topológico Abeliano livre de torção $G$ tal que $G^{\lambda}$ é enumeravelmente compacto, para todo $\lambda < \alpha$, mas $G^{\alpha}$ não é enumeravelmente compacto. Assim também, adaptaremos a pregumta de Comfort para semigrupos de Wallace. Aproveitando a construção anterior, e usando $\mathfrak c$ ultrafiltros seletivos incomparáveis, mostraremos que para qualquer inteiro positivo $m$, existe um semigrupo de Wallace tal que a sua $m$-éssima potência é enumeravelmente compacta. Além disso, provaremos que existe um semigrupo de Wallace $S$ de modo que $S^{n}$ é enumeravelmente compacto, para todo $n \in \omega$, mas $S^{\omega}$ não é enumeravelmente compacto.

Palavras-chave: Pergunta de Comfort, Espaços $p$-compactos, Espaçoes enumeravelmente compactos, Semigrupos de Wallace

Título: Aplicação do esquema homomórfico CKKS em reconhecimento facial: uma abordagem cliente-servidor

Resumo: A proteção da privacidade em sistemas de reconhecimento facial é um desafio crítico, especialmente quanto ao armazenamento e autenticação. Este trabalho apresenta uma solução segura e inspirada na ideia de Serengil (2021) para reconhecimento facial, baseada no esquema de criptografia homomórfica CKKS, que permite a comparação de imagens cifradas em ambiente cliente-servidor sem comprometer a privacidade dos dados biométricos. O objetivo central é permitir que imagens faciais sejam comparadas sem necessidade de decriptação, assegurando que o servidor não tenha acesso ao conteúdo das imagens processadas. Para tanto, foi implementado um pipeline que realiza a extração de embeddings faciais, sua criptografia por meio do CKKS através da biblioteca TenSEAL em Python, e a subsequente comparação homomórfica para fins de autenticação. O sistema foi avaliado quanto à escalabilidade, desempenho e acurácia, empregando variações nos parâmetros criptográficos. Os testes foram realizados com bases de dados contendo até 2.561 imagens criptografadas, demonstrando viabilidade técnica e segurança da abordagem. Os resultados indicam que o tempo de processamento cresce linearmente com o número de imagens, sem ocorrência de falsos positivos ou negativos. Ademais, confirmou-se que o desempenho da encriptação e decriptação em relação ao grau do polinômio utilizado no anel não apresenta comportamento linear, conforme previsto na literatura. A proposta se mostra promissora em cenários críticos como investigações criminais, autenticação em nuvem e controle de acesso, contribuindo para o avanço de soluções seguras em biometria facial.

Palavras-chave: Criptografia Homomórfica, CKKS, Reconhecimento Facial, TenSEAL.

Título: Análise e Aplicações do Método KIOPS na Integração Exponencial e em Equações Diferenciais

Resumo: O cálculo eficiente da ação da exponencial de matriz é fundamental para a solução numérica de sistemas lineares e semilineares provenientes da discretização de Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais. Integradores exponenciais oferecem vantagens significativas para problemas rígidos e de alta dimensão,mas sua eficácia prática depende de algoritmos capazes de avaliar combinações da ação da exponencial de matriz e de funções associadas sobre vetores de maneira estável e escalável. Este trabalho tem como objetivo analisar, implementar e avaliar o desempenho do método KIOPS, proposto em Stéphane Gaudreault et al., 2018, destacando seus fundamentos teóricos, formulação computacional e eficiência em cenários que envolvem matrizes de grande porte e operadores diferenciais. A discussão teórica inclui o arcabouço geral dos integradores exponenciais, introduzindo a representação por variação das constantes e o papel das funções ��, que surgem naturalmente na discretização temporal e permitem expressar a ação da exponencial de matriz e de seus termos associados sobre vetores, seguida de um exame de métodos exponenciais anteriores utilizados para aproximar essa ação via subespaços de Krylov. Em seguida, o método KIOPS é apresentado como uma extensão dessas abordagens, incorporando estratégias adaptativas para seleção da dimensão do subespaço, técnicas reduzidas de ortogonalização e estimadores de erro derivados da própria estrutura de Krylov. Foram realizados experimentos numéricos com matrizes densas que exibem características espectrais distintas, representando diferentes regimes dinâmicos encontrados em aplicações práticas. Esses experimentos permitem uma avaliação robusta do desempenho do KIOPS em comparação tanto com uma abordagem densa clássica para o cálculo da exponencial de matriz. Aplicações às equações de onda unidimensional e bidimensional também foram investigadas, onde o operador resultante da discretização espacial é ideal para analisar os benefícios do método KIOPS. Os resultados mostram que o KIOPS alcança ganhos substanciais de desempenho em tempo de execução, particularmente em problemas que envolvem matrizes grandes ou espectros que exigem forte amortecimento ou alta resolução temporal. Observou-se que o método mantém a precisão dentro de uma tolerância prescrita, ao mesmo tempo em que reduz significativamente os custos de ortogonalização por meio do uso combinado de mecanismos adaptativos e projeções em subespaços menores. Em aplicações envolvendo a equação de onda bidimensional, o KIOPS permitiu passos de tempo consideravelmente maiores do que aqueles viáveis com métodos tradicionais sob os mesmos requisitos de precisão, demonstrando sua robustez em problemas rígidos e mal condicionados. O estudo conclui que o KIOPS representa uma alternativa eficiente, escalável e numericamente confiável para integração exponencial, oferecendo melhorias significativas em relação às abordagens convencionais quando aplicado a problemas de alta dimensão.

Palavras-chave: exponencial de matriz, métodos de Krylov, integradores exponenciais, KIOPS, Equações diferenciais parciais

Título: Métodos Multigrid Matrix-Free para Assimilação Variacional de Dados

Resumo: A assimilação variacional de dados (4D-Var) desempenha um papel essencial em sistemas de previsão geofisica de alta resolução, mas seu custo computacional é dominado pela solução repetida de grandes sistemas lineares mal condicionados na formulação incremental. Esses sistemas são definidos de forma matrix-free, por meio de produtos Hessiana–vetor que envolvem operadores de covariância de erro de fundo, modelos tangente-lineares e adjuntos. Esta tese desenvolve e analisa métodos multigrid matrix-free adaptados especificamente à Hessiana do 4D-Var incremental. Utilizando um modelo de covariância baseado em difusão implícita, derivamos símbolos de Fourier explícitos e demonstramos—via Análise de Fourier Local—que a Hessiana é dominada, em altas frequências, pelo termo de erro de fundo. Isso motiva o uso de suavizadores espectrais compatíveis com operações matrix-free, como Richardson otimamente amortecido e iterações de Chebyshev de baixa ordem. Provamos que, sob hipóteses gerais, um método de dois níveis obtém taxas de convergência determinadas apenas pela capacidade de amortecimento em altas frequências do suavizador. Esses resultados teóricos são validados por um problema modelo não linear baseado na equação de Burgers viscosa, para o qual construímos modelos tangente-linear e adjunto consistentes usando uma discretização via Strang splitting. Experimentos numéricos confirmam que a abordagem multigrid proposta apresenta propriedades robustas de suavização e convergência independente da malha, oferecendo um caminho escalável para acelerar a assimilação variacional de dados em resoluções cada vez maiores.

Palavras-chave: Assimilação de Dados, 4D-Var Incremental, Métodos Multigrid, Análise de Fourier Local

Título: Resolubilidade de espaços topológicos Tychonoff pseudocompactos

Resumo: A propriedade da celularidade est\'a relacionada \`a resolubilidade de espacos topol\'ogicos pseudocompactos. Esses conceitos e sua inter-rela\c c\~ao s\~ao abordadas e discutidas por W. W. Comfort, Jean Van Mill, Yasser F. Ortiz e Artur H. Tomita em [4], [7] e [8]. O objetivo desta disserta\c c\~ao \'e apresentar detalhadamente os resultados obtidos em [7] e [8]. Se mostrara a resolubilidade de um espa\c co Tychonoff pseudocompacto sem pontos isolados, mediante a constru\c c\~ao de uma \'arvore de subconjuntos abertos. Isto sera feito em dos casos, quando a celularidade do espa\c co \'e infinita enumer\'avel mostraremos $\mathfrak{c}$- resolubilidade e quando a celularidade \'e $\mathfrak{c}$, 2-resolubilidade ser\'a demonstrada. \'E crucial destacar que a constru\c c\~ao da \'arvore em ambos casos at\'e um n\'ivel com cofinalidade enumer\'avel ser\'a feita gra\c cas \`a pseudocompacidade do espa\c co.

Palavras-chave: Resolubilidade, Pseudocompacidade, Celularidade, Árvore